Question

5．如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)AB=2，點(diǎn)P是對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，并以AP為邊在AP的右側(cè)作正方形APMN．
（1）連接DN，判斷BP、DN的數(shù)量和位置關(guān)系，并說明理由；
（2）連接BN，當(dāng)BP=1時(shí)，求BN的長(zhǎng)；
（3）證明：在P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)M始終在射線CD上．

Answer 1

分析 （1）結(jié)論P(yáng)B=DN，欲證明PB=DN，只要證明△BAP≌△DAN即可．
（2）首先證明△BDN是RT△，在RT△BDN中理由勾股定理即可．
（3）分點(diǎn)M落在線段CD上或CD的延長(zhǎng)線上兩種情形討論即可．

解答 解：（1）結(jié)論B=DN．
理由：如圖1中，連接DN．

∵四邊形ABCD、四邊形APMN都是正方形，
∴AB=AD，AP=AN，∠BAD=∠PAN=90°，
∴∠BAP=∠DAN，
在△BAP和△DAN中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=DA}\\{∠BAP=∠DAN}\\{AP=AN}\end{array}\right.$，
∴△BAP≌△DAN，
∴PB=DN．

（2）如圖2中，連接BN．

∵△BAP≌△DAN，
∴∠ABP=∠ADN=45°，BP=DN=1，
∵∠ADB=45°，
∴∠BDN=∠ADB+∠ADN=90°，
∵BD=2$\sqrt{2}$，
∴BN=$\sqrt{B{D}^{2}+D{N}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+{1}^{2}}$=3．

（3）①如圖3中，作AH⊥BD于H，MG⊥BD于G．

∵∠APH+∠MPG=90°，∠MPG+∠PMG=90°，
∴∠APH=∠PMG，∵∠AHP=∠PGM=90°，
∴△APH≌△PMG，
∴AH=PG，PH=MG，
∵AH=HD，
∴PG=DH，
∴PH=DG=GM，
∴∠GDM=45°，
∵∠DGC=45°，
∴點(diǎn)M在射線CD上．
②如圖4中，作AH⊥BD于H，MG⊥BD于G．

∵∠APH+∠MPG=90°，∠MPG+∠PMG=90°，
∴∠APH=∠PMG，∵∠AHP=∠PGM=90°，
∴△APH≌△PMG，
∴AH=PG，PH=MG，
∵AH=HD，
∴PG=DH，
∴PH=DG=GM，
∴∠GDM=45°，
∵∠DGC=45°，
∴點(diǎn)M在射線CD上．
綜上所述點(diǎn)M在射線CD上．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形綜合題、正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．