【題目】一個(gè)邊長(zhǎng)為4的等邊三角形ABC與⊙O等高,如圖放置,⊙O與BC相切于點(diǎn)C,⊙O與AC相交于點(diǎn)E.
(1)求CE的長(zhǎng);
(2)求陰影部分的面積.
【答案】
(1)解:如圖,過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D,
∵三角形ABC為等邊三角形,且AB=BC=4,
∴BD= BC=2,∠ACB=60°,
∴AD= = =2 ,
∵等邊三角形ABC與⊙O等高,且⊙O與BC相切于點(diǎn)C,
∴OC= AD= ,∠OCD=90°,
過(guò)點(diǎn)O作OF⊥CE于點(diǎn)F,
∴∠OCF=∠OCD﹣∠ACB=30°,
∴CF=OCcos∠OCF= × = ,
則CE=2CF=3;
(2)解:由(1)知OF⊥CE,∠OCF=30°,
∴∠COF=60°,OF=OCsin∠OCF= ,
∴∠COE=120°,
則S陰影=S扇形COE﹣S△COE
= ﹣ ×3×
=π﹣ .
【解析】(1)作AD⊥BC,由等腰三角形的性質(zhì)可得BD=2,根據(jù)勾股定理得出AD=2 ,結(jié)合等邊三角形ABC與⊙O等高且⊙O與BC相切于點(diǎn)C得OC= 、∠OCD=90°,作OF⊥CE于點(diǎn)F,從而知∠OCF=30°,利用三角函數(shù)求得CF的長(zhǎng),最后根據(jù)勾股定理得CE=2CF;(2)由(1)知OF⊥CE、∠OCF=30°從而得∠COF=60°、OF=OCsin∠OCF= ,繼而知∠COE=120°,根據(jù)S陰影=S扇形COE﹣S△COE可得答案.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和切線(xiàn)的性質(zhì)定理的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握等邊三角形的三個(gè)角都相等并且每個(gè)角都是60°;切線(xiàn)的性質(zhì):1、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)2、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)圓心3、圓的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑才能正確解答此題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知數(shù)軸上點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為6,是數(shù)軸上點(diǎn)左邊的一點(diǎn),=10,動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),沿著數(shù)軸正方向向右勻速運(yùn)動(dòng),若是的中點(diǎn),是的中點(diǎn),點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,線(xiàn)段的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化?若有變化,說(shuō)明理由;若沒(méi)有變化,請(qǐng)求出的長(zhǎng)度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,BI,CI分別平分∠ABC,∠ACB,過(guò)I點(diǎn)作DE∥BC,交AB于D,交AC于E,給出下列結(jié)論:①△DBI是等腰三角形;②△ACI是等腰三角形;③AI平分∠BAC;④△ADE周長(zhǎng)等于A(yíng)B+AC.其中正確的是( )
A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)操作發(fā)現(xiàn):如圖①,D是等邊△ABC的邊BA上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D與點(diǎn)B不重合),連接DC,以DC為邊在BC上方作等邊△DCF,連接AF,你能發(fā)現(xiàn)AF與BD之間的數(shù)量關(guān)系嗎?并證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論;
(2)類(lèi)比猜想:如圖②,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)至等邊△ABC邊BA的延長(zhǎng)線(xiàn)時(shí),其他作法與(1)相同,猜想AF與BD在(1)中的結(jié)論是否仍然成立?
(3)深入探究:Ⅰ.如圖③,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在等邊△ABC邊BA上運(yùn)動(dòng)時(shí)(點(diǎn)D與B不重合),連接DC,以DC為邊在BC上方和下方分別作等邊△DCF和等邊△DCF′,連接AF,BF′,探究AF,BF′與AB有何數(shù)量關(guān)系?并證明你的探究的結(jié)論;Ⅱ.如圖④,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在等邊△ABC的邊BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)時(shí),其他作法與圖③相同,Ⅰ中的結(jié)論是否成立?若不成立,是否有新的結(jié)論?并證明你得出的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙D的直徑,AD切⊙D于點(diǎn)A,EC=CB.則下列結(jié)論:①BA⊥DA; ②OC∥AE;③∠COE=2∠CAE;④OD⊥AC.一定正確的個(gè)數(shù)有( )
A.4個(gè)
B.3個(gè)
C.2個(gè)
D.1個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)D在等邊△ABC的邊BC上.
(1)把△ACD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)C與點(diǎn)B重合,畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的△ABD′;
(2)如果AC=4,CD=1,求(1)中點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)所走過(guò)的路程.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,將一張等邊三角形紙片沿中位線(xiàn)剪成4個(gè)小三角形,稱(chēng)為第一次操作;然后,將其中的一個(gè)三角形按同樣方式再剪成4個(gè)小三角形,共得到7個(gè)小三角形,稱(chēng)為第二次操作;再將其中一個(gè)三角形按同樣方式再剪成4個(gè)小三角形,共得到10個(gè)小三角形,稱(chēng)為第三次操作;…根據(jù)以上操作,若要得到100個(gè)小三角形,則需要操作的次數(shù)是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是邊AB上的高.
(1)求證:△ABC∽△CBD;
(2)如果AC=4,BC=3,求BD的長(zhǎng).
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