Question

11．已知：拋物線y=ax²+bx-4a交x軸于點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C（0，2）
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P為第一象限拋物線上一點(diǎn)，是否存在使△PBC面積最大的點(diǎn)P？若不存在，請說理由；若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）點(diǎn)D坐標(biāo)為（1，-1），連接AD，將線段AD繞平面內(nèi)某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度得線段MN（點(diǎn)M，N分別與點(diǎn)A、D對應(yīng)），使點(diǎn)M、N都在拋物線上，求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線y=ax²+bx-4a經(jīng)過A（-1，0）、C（0，2）兩點(diǎn)，列出a和b的二元一次方程組，求出a和b的值，進(jìn)而求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，即可求出直線BC的解析式；
（2）過點(diǎn)P作PQ∥y軸，交直線BC于Q，設(shè)P（x，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2），則Q（x，-$\frac{1}{2}$x+2）；求出PQ的長，利用S_△PCB=$\frac{1}{2}$PQ•OB列出S關(guān)于x的二次函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)求出面積的最大值，進(jìn)而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）作輔助線，根據(jù)線段AD繞平面內(nèi)某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度得線段MN可知：旋轉(zhuǎn)后的MN與AD平行且相等，構(gòu)建全等三角形：△ADG≌△MNG，根據(jù)A、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)發(fā)現(xiàn)，N點(diǎn)向下平移1個(gè)單位再向右移動兩個(gè)單位得M，設(shè)N的坐標(biāo)為：設(shè)N（m，-$\frac{1}{2}{m}^{2}+\frac{3}{2}m+2$），根據(jù)平移規(guī)律表示M（m+2，-$\frac{1}{2}{m}^{2}+\frac{3}{2}m+2$-1），代入拋物線的解析式即可求m的值，并計(jì)算出M、N的坐標(biāo)．

解答 解：（1）依題意，有：$\left\{\begin{array}{l}{a-b-4a=0}\\{-4a=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式：y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；
（2）∵拋物線y=ax²+bx-4a交x軸于點(diǎn)B，
∴B（4，0），
∴直線BC：y=-$\frac{1}{2}$x+2；
如圖1，過點(diǎn)P作PQ∥y軸，交直線BC于Q，設(shè)P（x，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2），則Q（x，-$\frac{1}{2}$x+2）；
∴PQ=（-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2）-（-$\frac{1}{2}$x+2）=-$\frac{1}{2}$x²+2x，
S_△PCB=$\frac{1}{2}$PQ•OB=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{2}$x²+2x）×4=-（x-2）²+4；
當(dāng)x=2時(shí)，S有最大值，
當(dāng)x=2時(shí)，y=-$\frac{1}{2}$×4+$\frac{3}{2}$×2+2=3，
∴當(dāng)P（2，3）時(shí)，△PCB的面積最大；
（3）如圖2，過D作DG⊥x軸于G，過N作NH∥y軸，過M作MH∥x軸，交于H，
由題意得：△ADG≌△MNG，
∵A（-1，0），D（1，-1），
∴AG=2，DG=1，
∴NH=DG=1，MH=AG=2，
設(shè)N（m，-$\frac{1}{2}{m}^{2}+\frac{3}{2}m+2$），則M（m+2，-$\frac{1}{2}{m}^{2}+\frac{3}{2}m+2$-1），
把M的坐標(biāo)代入拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2中得：
-$\frac{1}{2}$（m+2）²+$\frac{3}{2}$（m+2）+2=-$\frac{1}{2}{m}^{2}+\frac{3}{2}m+2$-1，
解得：m=1，
當(dāng)m=1時(shí)，-$\frac{1}{2}{m}^{2}+\frac{3}{2}m+2$=-$\frac{1}{2}$×1+$\frac{3}{2}$+2=3，
∴N（1，3），M（3，2）．

點(diǎn)評 本題主要考查了二次函數(shù)綜合題，此題涉及到待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算、三角形全等的判定等知識，解答（2）問關(guān)鍵是用x表示出PQ的長，解答（3）問關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)建全等三角形，利用坐標(biāo)關(guān)系發(fā)現(xiàn)規(guī)律，此題有一定的難度．