Question

15．已知關于x的函數y=ax²-2abx+ab²-1，直線y=-ax+3與y軸交于點A，與x軸的正半軸交于點P，點B的縱坐標為3，且AP⊥BP，AP=BP．
（1）求實數a的值及點B的坐標；
（2）若該二次函數的圖象與線段AB只有一個公共點，請結合函數圖象，求出實數b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據AP⊥BP，AP=BP先判斷出△PAB是等腰直角三角形，確定出點B，P的坐標．
（2）先確定出拋物線的頂點坐標，然后確定出拋物線與直線AB的交點坐標，根據圖象確定出b的范圍．

解答 解：過P作PC⊥AB，
∵AP⊥BP，AP=BP，
∴△APB為等腰直角三角形，
∴直線y=-ax+3與y軸交于點A，
∴點A的縱坐標為3，
∵點B的縱坐標為3，
∴AB∥x軸，
∴PC=3
∴AB=2PC=6，
∴B（6，3），P（3，0），
∵直線y=-ax+3與x軸的正半軸交于點P，
∴-3a+3=0，
∴a=1，
（2）如圖，

由（1）有a=1，
∴關于x的函數y=ax²-2abx+ab²-1=x²-2bx+b²-1=（x-b）²-1，
∴此函數圖象是頂點的縱坐標為-1的拋物線，
∵直線AB解析式為y=3，
∴拋物線與直線AB的交點坐標為（b-2，3）和（b+2，3）
∴兩交點之間的距離為4，
∵該二次函數的圖象與線段AB只有一個公共點，
∴①當拋物線和線段AB的左側只交一個點時，
∴b-2＜0，b+2≥0，
∴-2≤b＜2，
②當拋物線和線段AB的左側只交一個點時，
∴b-2＜≤6，b+2＞6，
∴4＜b≤8．
∴實數b的取值范圍-2≤b＜2或4＜b≤8．

點評 此題是拋物線的交點坐標題，主要考查了等腰直角三角形的性質，拋物線與直線的交點，解本題的關鍵是畫出圖象，分析拋物線與線段AB只有一個交點是解本題的難點．