Question

如圖，若ABCD是矩形，AB=10cm，BC=20cm，E為邊BC上的一個動點(diǎn)，P為BD上的一個動點(diǎn)，求PC+PE的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題

專題：

分析：根據(jù)軸對稱求最短路線的方法得出P點(diǎn)位置，進(jìn)而利用三角形相似對應(yīng)邊成比例求出C′E，即可求得PC+PE的值．

解答：解：如圖所示：由題意可得出：作C點(diǎn)關(guān)于BD對稱點(diǎn)C′，連接BC′，
過點(diǎn)C′作C′E⊥BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)P，連接PC，此時PC+PE=C′E最小，
∵AB=CD=10cm，BC=20cm，
∴BD=

BC2+DC2

=10

5

cm，
∵CC′⊥BD，
∴∠BMC=∠BCD=90°，
∴∠BCM=∠BDC，
∴△BCM∽△BDC，
∴

CM

BC

=

DC

BD

，
∴CM=

BC•DC

BD

=

20×10

10 5

=4

5

，
∴CC′=8

5

cm，
∵C′E⊥BC，
∴∠C′EC=∠BCD=90°，
∴△C′EC∽△BCD，
∴

C′E

BC

=

C′C

BD

，
∴C′E=

C′C•BC

BD

=

8 5 ×20

10 5

=16cm；
∴PC+PE的最小值為16cm．

點(diǎn)評：此題主要考查了利用軸對稱求最短路線以及三角形相似的判定和性質(zhì)，利用軸對稱得出P點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．