Question

如圖，等腰直角△BCD，∠BDC=90°，E為CD的中點，DF⊥BE于F，連CF交BD于H．
（1）求證：DE²=EF•EB；
（2）求

DH

BH

；
（3）過B點作BG⊥BC交CH的延長線于G點，求證：BC=2BG．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）利用條件可證明△DEF∽△BED，再利用相似三角形的性質(zhì)可證得結(jié)論；
（2）可證明△BFD∽△DFE，可得到BF和EF的關(guān)系，過E作EM∥BD交CH于M，可找到DH和EM的關(guān)系，BH和EM的關(guān)系，從而可求得

DH

BH

；
（3）過D作DN⊥BC，交CH于L，交BC于點N，可證得DL=LN=

1

2

BG，可得BG=DN，可證得BC=2BG．

解答：（1）證明：
∵DF⊥BE，
∴∠DFE=∠BDE=90°，且∠DEF=∠BED，
∴△DEF∽△BED，
∴

DE

BE

=

EF

DE

，
∴DE²=EF•EB；
（2）解：
∵DF⊥BE，
∴∠DFB=∠DFE=90°，
∴∠DBF+∠BDF=∠BDF+∠FDE=90°，
∴∠DBF=∠FDE，
∴△BFD∽△DFE，
∴

BF

DF

=

DF

EF

=

BD

DE

，
∵BD=CD，E為CD中點，
∴

BD

DE

=2，
∴BF=2DF=4EF，
如圖1，過點E作EM∥BD，交CH于點M，

∵E為CD中點，
∴M為CH中點，
∴DH=2FM，
∵FM∥BD，
∴

BH

FM

=

BF

EF

=4，
∴BH=4FM，
∴

DH

BH

=

2FM

4FM

=

1

2

；
（3）證明：
如圖2，過D作DN⊥BC，交CG于點L，交BC于點N，

∵GB⊥BC，
∴DN∥BG，
∵△BCD為等腰直角三角形，
∴BN=CN=DN，
∴L為CG中點，
∴GB=2LN，
∵GB∥DL，
∴

GB

DL

=

BH

DH

=2，
∴GB=2DL，
∴GB=DN=

1

2

BC，
∴BC=2GB．

點評：本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的對應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵，注意利用中點構(gòu)造三角形中位線是解題的常用輔助線．