Question

13．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，tanA=$\frac{1}{2}$，將△ABC沿直線l翻折，恰好使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，直線l分別交邊AB、AC于點(diǎn)D、E；
（1）求△ABC的面積；
（2）求sin∠CBE的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)∠A的正切用BC表示出AC，再利用勾股定理列方程求出BC，再求出AC，然后根據(jù)直角三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解；
（2）設(shè)CE=x，表示出AE，再根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得BE=AE，然后列方程求出x，再利用銳角的正弦等于對(duì)邊比斜邊列式計(jì)算即可得解．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，tanA=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴AC=2BC，
在Rt△ABC中，BC²+AC²=AB²，
即BC²+4BC²=25，
解得BC=$\sqrt{5}$，
所以，AC=2$\sqrt{5}$，
△ABC的面積=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$×2$\sqrt{5}$=5；

（2）設(shè)CE=x，則AE=AC-CE=2$\sqrt{5}$-x，
∵△ABC沿直線l翻折點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，
∴BE=AE=2$\sqrt{5}$-x，
在Rt△BCE中，BC²+CE²=BE²，
即$\sqrt{5}$²+x²=（2$\sqrt{5}$-x）²，
解得x=$\frac{3\sqrt{5}}{4}$，
所以，CE=$\frac{3\sqrt{5}}{4}$，
BE=2$\sqrt{5}$-x=2$\sqrt{5}$-$\frac{3\sqrt{5}}{4}$=$\frac{5\sqrt{5}}{4}$，
所以，sin∠CBE=$\frac{CE}{BE}$=$\frac{\frac{3\sqrt{5}}{4}}{\frac{5\sqrt{5}}{4}}$=$\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了翻折變換的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，此類題目，利用勾股定理列出方程求出相關(guān)的線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．