Question

13．數(shù)學課上探究一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象有交點時的相關(guān)結(jié)論：已知直線y=kx+b與x軸、y軸分別交于點C（x，0）、D（0，y），與雙曲線y=$\frac{m}{x}$交于點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（1）填空與觀察：

函數(shù)關(guān)系式	C（x，0）	D（0，y）	A （x1，y1）	B（x2，y2）
y=2x+2，y=$\frac{4}{x}$，如圖1	（-1，0）	（0，2）	（1 ， 4）	（-2，-2）
y=x-3，y=$\frac{10}{x}$，如圖2	（3，0）	（0，-3）	（5，2）	（ -2， -5）

（2）發(fā)現(xiàn)與驗證：
數(shù)學學習小組在探究圖象交點時發(fā)現(xiàn)以下結(jié)論：
①x₁+x₂=x；②y₁+y₂=y；③當b²+4mk≥0時，兩函數(shù)圖象一定會相交．
你認為以上探究的結(jié)論中正確的有①②③（填序號），請選擇一個加以證明．
（3）應用與拓展：
連接AO，BO，判斷△ACO與△BOD的面積有什么關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式成方程組，解方程組即可求出交點A、B的坐標；
（2）①②③均成立，將一次函數(shù)解析式代入反比例函數(shù)解析式整理得出關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)根的判別式即可證出③成立；證①②時利用利用代入法根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系來證出①②成立；
（3）兩三角形面積相等，過點A作AE⊥x軸于點E，過點B作BF⊥y軸于點F，由一次函數(shù)解析式可求出點C、D的坐標，聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式成方程組，解方程可求出點A、B的坐標，利用三角形的面積公式即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+2}\\{y=\frac{4}{x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-2}\\{{y}_{2}=-2}\end{array}\right.$，
∴點A（1，4）；
聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{y=x-3}\\{y=\frac{10}{x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=5}\\{{y}_{1}=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-2}\\{{y}_{2}=-5}\end{array}\right.$，
∴點B（-2，-5）．
故答案為：1；4；-2；-5．
（2）①②③均正確．
∵直線y=kx+b與x軸、y軸分別交于點C（x，0）、D（0，y），
∴x=-$\frac{k}$，y=b．
選①證明：將y=kx+b代入y=$\frac{m}{x}$中，
得：kx+b=$\frac{m}{x}$，整理得：kx²+bx-m=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{k}$=x，①成立；
選②證明，∵y=kx+b，
∴x=$\frac{y-b}{k}$，
將x=$\frac{y-b}{k}$代入y=$\frac{m}{x}$中，
得：y=$\frac{km}{y-b}$，整理得：y²-by-km=0，
∴y₁+y₂=b=y，②成立；
選③證明：將y=kx+b代入y=$\frac{m}{x}$中，
得：kx+b=$\frac{m}{x}$，整理得：kx²+bx-m=0，
∵△=b²+4km，
∴當b²+4mk≥0時，兩函數(shù)圖象一定會相交，③成立．
故答案為：①②③．
（3）△ACO與△BOD的面積相等．理由如下：
過點A作AE⊥x軸于點E，過點B作BF⊥y軸于點F，如圖所示．
∵直線y=kx+b與x軸、y軸分別交于點C（x，0）、D（0，y），
∴x=-$\frac{k}$，y=b．
聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{y=\frac{m}{x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{-b+\sqrt{^{2}+4km}}{k}}\\{{y}_{1}=\frac{mk}{-b+\sqrt{^{2}+4km}}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{-b-\sqrt{^{2}+4km}}{k}}\\{{y}_{2}=\frac{mk}{-b-\sqrt{^{2}+4km}}}\end{array}\right.$．
S_△BOD=$\frac{1}{2}$OD•|x₂|=$\frac{1}{2}$|$\frac{b（-b-\sqrt{^{2}+4km}）}{k}$|；
S_△ACO=$\frac{1}{2}$OC•|y₁|=$\frac{1}{2}$|$\frac{k}$•$\frac{mk}{-b+\sqrt{^{2}+4km}}$|=$\frac{1}{2}$|$\frac{k}$•$\frac{mk（-b-\sqrt{^{2}+4km}）}{-4km}$|=$\frac{1}{2}$|$\frac{b（-b-\sqrt{^{2}+4km}）}{k}$|=S_△BOD．
∴△ACO與△BOD的面積相等．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、根的判別式以及解方程組，解題的關(guān)鍵是：（1）聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組，解方程組求出交點坐標；（2）利用根的判別式（根與系數(shù)的關(guān)系）證出結(jié)論；（3）求出點A、B、C、D的坐標．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，聯(lián)立兩函數(shù)的解析式成方程組，解方程組求出交點坐標是關(guān)鍵．