Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AC⊥BC于點(diǎn)C，且點(diǎn)C在y的正半軸上，點(diǎn)A和點(diǎn)B分別在x的負(fù)半軸和正半軸，AC＝BC，AB＝8．

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)以1個(gè)單位/秒的速度向y的負(fù)半軸方向運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)G從點(diǎn)B出發(fā)以1個(gè)單位/秒的速度向x軸的正方向運(yùn)動，連接DG交直線BC于點(diǎn)F．設(shè)D、G兩點(diǎn)運(yùn)動時(shí)間為t秒，△DOF的面積為s，請用t的式子表示s，并直接寫出t的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)F作FP⊥DF，過點(diǎn)C作x軸的平行線交FP于點(diǎn)P，連接AD，是否存在t，使△CPF的面積等于△AOD面積的2倍？如果存在，請求出t的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）C（0，4）；（2），（3）存在t，使△CPF的面積等于△AOD面積的2倍，t＝或t＝．

【解析】

（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可求得OC的長度，即可求出C點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）證明△DHF≌△GBF，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可知點(diǎn)F是DG的中點(diǎn)，所以可證,分情況討論即可；

（3）先判斷△POI為等腰直角三角形，利用面積公式表示出△CPF和△AOD的面積，用2倍建立方程，解出即可．

解：（1）∵AC＝BC，AB＝8，

∴OB＝4，

∵AC⊥BC，AC＝BC，

∴∠OBC＝45°．

∵∠BOC＝90°，

∴OC＝OB＝4，

∵點(diǎn)C在y的正半軸上，

∴C（0，4）；

（2）過點(diǎn)D作DH∥x軸交直線BC于點(diǎn)H，

∵DH∥x軸，∠BOC＝90°，∠OBC＝45°．

∴∠HDF＝∠BGF，∠CDH＝∠BOC=90°, ∠OCB＝45°,

∴CD=DH，

∵D，G兩點(diǎn)速度相同，

∴CD＝DH＝BG，

在△DHF和△GBF中，

，

∴△DHF≌△GBF，

∴點(diǎn)F是DG的中點(diǎn)，

當(dāng)0＜t＜4時(shí)，如圖1，

∵OD＝4﹣t，OG＝4+t，

，

當(dāng)t=4時(shí)，D點(diǎn)與O點(diǎn)重合，此時(shí)S=0，

如圖2，當(dāng)t＞4時(shí)，

∵OD＝t﹣4，OG＝4+t，

；

故 .

（3）如圖3，

連接PD、PG、PO，過點(diǎn)F作E⊥CP于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作PI⊥PO交x軸于點(diǎn)I，

∴△POI為等腰直角三角形，且OB＝BI＝OC＝CP，

∴點(diǎn)P（4，4），CP＝4．

當(dāng)0≤t＜4時(shí)，EF＝t+2，

S△CPF＝CP×EF＝×4×（t+2）＝t+4

S△AOD＝OA×OD＝×4×（4﹣t）＝8﹣2t

∴t+4＝2（8﹣2t），

解得t＝，

當(dāng)t＞4時(shí)，EF＝t+2，

S△CPF＝CP×EF＝×4×（t+2）＝t+4

S△AOD＝OA×OD＝×4×（t﹣4）＝2t﹣8

∴t+4＝2（2t﹣8），

解得t＝．

∴存在t，使△CPF的面積等于△AOD面積的2倍，t＝或t＝．