【題目】課外興趣小組活動時,老師提出了如下問題:
(1)如圖1,△ABC中,若AB=5,AC=3,求BC邊上的中線AD的取值范圍.
小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流,得到了如下的解決方法:
延長AD到E,使得DE=AD,再連接BE(或?qū)?/span>△ACD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD),把AB、AC、2AD集中在△ABE中,利用三角形的三邊關(guān)系可得2<AE<8,則1<AD<4.
感悟:解題時,條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”字樣,可以考慮構(gòu)造以中點為對稱中心的中心對稱圖形或全等三角形,把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個三角形中.
(2)問題解決:
受到(1)的啟發(fā),請你證明下面命題:如圖2,在△ABC中,D是BC邊上的中點,DE⊥DF,DE交AB于點E,DF交AC于點F,連接EF.
①求證:BE+CF>EF;②若∠A=90°,探索線段BE、CF、EF之間的等量關(guān)系,并加以證明;
(3)問題拓展:
如圖3,在四邊形ABDC中,∠B+∠C=180°,DB=DC,∠BDC=120°,以D為頂點作∠EDF為60°角,角的兩邊分別交AB、AC于E、F兩點,連接EF,探索線段BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.
【答案】見解析
【解析】
試題分析:(2)①首先延長FD到G,使得DG=DF,進而得出CF=BG,DF=DG,以及EF=EG,再利用三角形三邊關(guān)系得出答案;
②由①知∠FCD=∠DBG,EF=EG,再利用勾股定理得出答案;
(3)利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出△DEG≌△DEF(SAS),進而得出EF=EG=BE+BG,即EF=BE+CF,進而得出答案.
(2)證明:①如答題圖1,延長FD到G,使得DG=DF,連接BG、EG.
則CF=BG,DF=DG,
∵DE⊥DF,∴EF=EG.
在△BEG中,BE+BG>EG,即BE+CF>EF.
解:②若∠A=90°,則∠EBC+∠FCB=90°,
由①知∠FCD=∠DBG,EF=EG,
∴∠EBC+∠DBG=90°,即∠EBG=90°,
∴在Rt△EBG中,BE2+BG2=EG2,
∴BE2+CF2=EF2;
(3)解:如答題圖2,將△DCF繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到△DBG.
∵∠C+∠ABD=180°,∠4=∠C,
∴∠4+∠ABD=180°,
∴點E、B、G在同一直線上.
∵∠3=∠1,∠BDC=120°,∠EDF=60°,
∴∠1+∠2=60°,故∠2+∠3=60°,即∠EDG=60°
∴∠EDF=∠EDG=60°,
在△DEG和△DEF中,
∴△DEG≌△DEF(SAS),
∴EF=EG=BE+BG,即EF=BE+CF.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】完成下列填空.如右圖,已知AD⊥BC,EF⊥BC,∠1=∠2. 求證: DG∥BA.
證明:∵AD⊥BC,EF⊥BC(已知)
∴∠EFB=∠ADB=90° ( )
∴ ∥ ( )
∴∠1=∠BAD ( )
又∵∠1=∠2 (已知)
∴ (等量代換)
∴DG∥BA. ( )
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=8,BC=16,點P以每秒1個單位長度的速度從點A出發(fā),沿AD向點D運動;點Q同時以每秒2個單位長度的速度從點C出發(fā),沿CB向點B運動,點P停止運動時,點Q也隨之停止運動,設(shè)運動時間為t秒.
(1)當(dāng)t為多少時,以點ABQD為頂點的四邊形是平行四邊形?
(2)當(dāng)t為多少時,以點ABQP為頂點的四邊形是平行四邊形?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一只不透明的袋子中有2個紅球、3個綠球和5個白球,這些球除顏色外都相同,將球攪勻,從中任意摸出1個球.
(1)會出現(xiàn)哪些可能的結(jié)果? ;
(2)你認為摸到哪種顏色球的可能性最大? ;
(3)怎樣改變袋子中紅球和白球的個數(shù),使摸到這兩種顏色球的概率相同?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列性質(zhì)中,菱形具有而矩形不一定具有的是( )
A.對角線相等
B.對角線互相平分
C.對角線互相垂直
D.鄰邊互相垂直
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【題目】下列運算正確的是( )
A. 3a+2b=5ab B. 3a2b﹣3ba2=0 C. 3x2+2x3=5x5 D. 5y2﹣4y2=1
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一元二次方程x2﹣4x=12的根是( )
A.x1=2,x2=﹣6 B.x1=﹣2,x2=6 C.x1=﹣2,x2=﹣6 D.x1=2,x2=6
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可變形為( )
A.(x﹣3)2=14 B.(x﹣3)2=4 C.(x+3)2=14 D.(x+3)2=4
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