Question

12．如圖，在△ABC中，AC=BC，∠CAB=30°，過點C作CD⊥AC交AB于點D，⊙O是△ACD的外接圓．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）CE平分∠ACD交⊙O于點E，若CD=1，求AE的長．

Answer 1

分析 （1）連接OC，根據(jù)CD⊥AC得出AD是⊙O的直徑再由等腰三角形的性質(zhì)得出∠OAC=∠OCA=30°，故∠COB=60°．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠OCB=90°，由此可得出結(jié)論；
（2）連接DE，由角平分線的性質(zhì)得出∠ACE=∠DCE，故可得出$\widehat{AE}$=$\widehat{DE}$，AE=DE，再由勾股定理即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：連接OC，
∵CD⊥AC，
∴AD是⊙O的直徑．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
∴∠COB=60°．
∵AC=BC，∠CAB=30°，
∴∠B=30°，
∴∠OCB=90°，
∴BC是⊙O的切線；

（2）解：連接DE，
在Rt△ACD中，
∵∠CAD=30°，CD=1，
∴AD=2CD=2，
∵CE平分∠ACD交⊙O于點E，
∴∠ACE=∠DCE，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{DE}$，
∴AE=DE．
設(shè)AE=x，由勾股定理得，x²+x²=2²，解得x=$\sqrt{2}$，即AE=$\sqrt{2}$．

點評 本題考查的是切線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用三角形內(nèi)角和定理及勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵．