Question

7．在折紙這種傳統(tǒng)手工藝術(shù)中，蘊含許多數(shù)學(xué)思想，我們可以通過折紙得到一些特殊圖形，把一張正方形紙片按照圖①～④的過程折疊后展開．
求證：四邊形ABCD是菱形．

Answer 1

分析 根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠MAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠MAC，∠CAB=∠NAB=$\frac{1}{2}$∠CAN，∠DCA=∠MCD=$\frac{1}{2}$∠ACM，∠ACB=∠NCB=$\frac{1}{2}$∠ACN，再根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠MAC=∠∠MCA=∠NAC=∠NCA，所以∠DAC=∠BAC=∠BCA=∠DCA，于是可判斷四邊形ABCD為平行四邊形，且DA=DC，然后根據(jù)菱形的判定方法得到四邊形ABCD為菱形．

解答 解：∵△AMG沿AG折疊，使AM落在AC上，
∴∠MAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠MAC，
同理可得∠CAB=∠NAB=$\frac{1}{2}$∠CAN，∠DCA=∠MCD=$\frac{1}{2}$∠ACM，∠ACB=∠NCB=$\frac{1}{2}$∠ACN，
∵四邊形AMCN是正方形，
∴∠MAC=∠MCA=∠NAC=∠NCA，
∴∠DAC=∠BAC=∠BCA=∠DCA
∴AD∥BC，AB∥DC，
∴四邊形ABCD為平行四邊形，
∵∠DAC=∠DCA，
∴AD=CD，
∴四邊形ABCD為菱形．

點評 本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．也考查了菱形的判定方法以及正方形的性質(zhì)．