Question

7．對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的任意兩點(diǎn)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），我們把d（P₁，P₂）=|x₁-x₂|y₂-y₂|叫做P₁、P₂兩點(diǎn)間的直角距離．
（1）已知點(diǎn)A（1，1），點(diǎn)B（3，4），則d（A，B）=5．
（2）已知點(diǎn)E（a，a），點(diǎn)F（2，2），且d（E，F(xiàn)）=4，則a=0或4．
（3）已知點(diǎn)M（m，2），點(diǎn)N（1，0），則d（M，N）的最小值為2．
（4）設(shè)P₀（x₀，y₀）是一定點(diǎn)，Q（x，y）是直線y=ax+b上的動(dòng)點(diǎn)，我們把d（P₀，Q）的最小值叫做P₀到直線y=ax+b的直角距離，試求點(diǎn)M（5，1）到直線y=x+2的直角距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中的任意兩點(diǎn)的距離的計(jì)算公式計(jì)算即可；
（2）根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中的任意兩點(diǎn)的距離的計(jì)算公式列出算式，根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)計(jì)算；
（3）根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中的任意兩點(diǎn)的距離的計(jì)算公式和絕對(duì)值的非負(fù)性解答；
（4）根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中的任意兩點(diǎn)的距離的計(jì)算公式列出算式，分x≤-1、-1＜x≤5和x≥5三種情況，根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)計(jì)算即可．

解答 解：（1）點(diǎn)A（1，1），點(diǎn)B（3，4），
則d（A，B）=|3-1|+|4-1|=5，
故答案為：5；
（2）∵點(diǎn)E（a，a），點(diǎn)F（2，2），d（E，F(xiàn)）=4，
∴|2-a|+|2-a|=4，
當(dāng)a＞2時(shí)，a-2+a-2=4，
解得a=4，
當(dāng)a＜2時(shí)，2-a+2-a=4，
解得a=0，
故答案為：0或4；
（3）d（M，N）=|1-m|+|0-2|=|1-m|+2，
∵|1-m|≥0，
∴|1-m|的最小值為0，
則|1-m|+2的最小值為2，即d（M，N）的最小值為2，
故答案為：2．
（4）設(shè)點(diǎn)N為直線y=x+2上一點(diǎn)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x，x+2），
則d（M，N）=|x-5|+|x+2-1|=|x-5|+|x+1|，
當(dāng)x≤-1時(shí)，d（M，N）=5-x-x-1=-2x+4，
由一次函數(shù)的性質(zhì)可知，d（M，N）的值隨x的增大而減小，
當(dāng)x=-1時(shí)，d（M，N）的最小值是6；
當(dāng)-1＜x≤5時(shí)，d（M，N）=5-x+x+1=6；
當(dāng)x≥5時(shí)，d（M，N）=x-5+x+1=2x-4，
由一次函數(shù)的性質(zhì)可知，d（M，N）的值隨x的增大而增大，
當(dāng)x=5時(shí)，d（M，N）的最小值是6，
綜上所述，點(diǎn)M（5，1）到直線y=x+2的直角距離為6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是平面直角坐標(biāo)系中的任意兩點(diǎn)的距離的計(jì)算以及一次函數(shù)的性質(zhì)，正確理解新定義是解題的關(guān)鍵，對(duì)于一次函數(shù)y=kx+b，當(dāng)k＞0時(shí)，y隨x的增大而增大，k＜0時(shí)，y隨x的增大而減�。�