Question

【題目】在△ABC和△DEF中，將△DEF按要求擺放，使得∠D的兩條邊分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)C．

（1）當(dāng)將△DEF如圖1擺放時(shí)，若∠A=50°，∠E+∠F=100°，則∠D= ；∠ABD+∠ACD＝ ．

（2）當(dāng)將△DEF如圖2擺放時(shí)，∠A=m°，∠E+∠F=n°，請(qǐng)求出∠ABD+∠ACD的度數(shù)(用含m、n的代數(shù)式表示)．

（3）能否將△DEF擺放到某個(gè)位置，使得BD、CD同時(shí)平分∠ABC和∠ACB．若能，求出∠A、∠E、∠F滿足的關(guān)系？若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由？

Answer 1

【答案】（1）80°，230°；（2）180°-m°- n°；（3）能，

【解析】

（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和可求出∠D的度數(shù)，要求∠ABD+∠ACD的度數(shù)，只要求出∠ABC+∠CBD+∠ACB+∠BCD，利用三角形內(nèi)角和定理得出∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-50°=130°；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠CBD+∠BCD=∠E+∠F=100°，得出∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠CBD+∠ACB+∠BCD=230°；

（2）要求∠ABD+∠ACD的度數(shù)，只要求出∠ABC+∠ACB-（∠BCD+∠CBD）的度數(shù)．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠CBD+∠BCD=∠E+∠F=n°；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=（180-m）°，得出∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠ACB-（∠BCD+∠CBD）=（180-m-n）°；

（3）若滿足條件，根據(jù)題意可得∠ABD+∠ACD＝∠CBD+∠BCD，可得n°＝90°-m°，從而得出結(jié)論.

解：（1）∵∠E+∠F=100°，

∴∠D=180°-（∠E+∠F）=80°，

在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°，
在△BCD中，∠D+∠BCD+∠CBD=180°，
∴∠BCD+∠CBD=180°-∠D，
在△DEF中，∠D+∠E+∠F=180°，
∴∠E+∠F=180°-∠D，
∴∠CBD+∠BCD=∠E+∠F=100°，
∴∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠CBD+∠ACB+∠BCD=130°+100°=230°；

（2）在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A=m°，

∴∠ABC+∠ACB=180°-m°，

在△DEF中，∠D+∠E+∠F=180°，

∴∠D=180°- (∠E+∠F)= 180°-n°，

在△BCD中，∠D+∠BCD+∠CBD=180°，

∴∠BCD+∠CBD=180°-∠D=180°-(180°-n°)= n°，

∴∠ABD+∠ACD

=∠ABC-∠CBD+∠ACB-∠BCD

=(∠ABC+ ACB)-( ∠CBD+∠BCD)

=180°-m°- n°；

（3）能．

∵BD、CD平分∠ABC和∠ACB，

∴∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠BCD，

∴∠ABD+∠ACD＝∠CBD+∠BCD，

∴180°-m°- n°＝n°，

∴n°＝90°-m°，

∴.