Question

如圖，已知拋物線y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的對稱軸為直線x＝－1，且拋物線經(jīng)過A（1，0），C（0，3）兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)B。

（1）若直線y＝mx＋n經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，求直線BC和拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對稱軸x＝－1上找一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對稱軸x＝－1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使△BPC為直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)。

Answer 1

  解：（1）依題意得：解之得：

∴拋物線解析式為

     ∵對稱軸為x＝－1，且拋物線經(jīng)過A（1，0）

     ∴  把B（－3，0）、C（0，3）分別代入直線y＝mx＋n

得

解之得：    

∴直線y＝mx＋n的解析式為

（2）設(shè)直線BC與對稱軸x＝－1的交點(diǎn)為M，則此時(shí)MA＋MC的值最小。把x＝－1代入直線得，y＝2

∴M（－1，2）。即當(dāng)點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小時(shí)M的坐標(biāo)為（－1，2）。

（注：本題只求M坐標(biāo)沒說要證明為何此時(shí)MA＋MC的值最小，所以答案沒證明MA＋MC的值最小的原因）

     （3）設(shè)P（－1，t），又B（－3，0），C（0，3）

∴BC²＝18，PB²＝(－1＋3)²＋t²＝4＋t²，PC²＝(－1)²＋(t－3)²＝t²－6t＋10

①若點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，則BC²＋PB²＝PC²即：18＋4＋t²＝t²－6t＋10解之得：t＝－2

②若點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，則BC²＋PC²＝PB²即：18＋t²－6t＋10＝4＋t²解之得：t＝4

③若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，則PB²＋PC²＝BC²即： 4＋t²＋t²－6t＋10＝18解之得：t₁＝，t₂＝

         綜上所述P的坐標(biāo)為(－1，－2)或(－1，4) 或(－1，) 或(－1，)