Question

8．已知如圖，在四邊形ABCD中，AD=CD，M、N分別是BC、AB上的點(diǎn)．
（1）如圖①，若∠A=∠C=90°，∠B=∠MDN=60°．某同學(xué)在探究線(xiàn)段AN、MN、CM之間的數(shù)量關(guān)系時(shí)是這樣的思路：延長(zhǎng)BA到P，使AP=CM，連接PD（圖1中虛線(xiàn)），通過(guò)研究圖中有關(guān)三角形全等，再利用全等三角形的性質(zhì)結(jié)合題中條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而得到結(jié)論．
這位同學(xué)在這個(gè)研究過(guò)程中：證明兩對(duì)三角形分別全等的依據(jù)是SAS，SAS，得出線(xiàn)段AN、MN、CM之間的數(shù)量關(guān)系的結(jié)論是MN=AN+CM．
（2）如圖②，若∠A+∠C=180°，其他條件不變，當(dāng)AN、MN、CM之間滿(mǎn)足（1）中的數(shù)量關(guān)系時(shí)，設(shè)∠B=α°，請(qǐng)求出∠MDN的度數(shù)（用α含的代數(shù)式表示）；
（3）如圖③，我區(qū)某學(xué)校在慶祝“六一”兒童節(jié)的定向越野活動(dòng)中，大本營(yíng)指揮部設(shè)在點(diǎn)O處，甲同學(xué)在指揮部東北方向的E處，乙同學(xué)在指揮部南偏西75°的F處，且兩位同學(xué)到指揮部的距離相等．接到行動(dòng)指令后，甲同學(xué)以100米/分鐘的速度向正西方向前進(jìn)，乙同學(xué)以120米/分鐘的速度向北偏西60°方向前進(jìn)．10分鐘后，指揮部監(jiān)測(cè)到甲、乙兩同學(xué)分別到達(dá)G、H處，且么∠GOH=75°，求此時(shí)甲、乙兩同學(xué)之間的距離．

Answer 1

分析 （1）延長(zhǎng)BA到P，使AP=CM，用SAS判斷出△CDM≌△ADP，得到DM=DP，再判斷出∠MDN=∠PDN，從而用SAS得出△DMN≌△DPN，即可；
（2）延長(zhǎng)BA到P，使AP=CM，用SAS判斷出△CDM≌△ADP，得到DM=DP，再判斷出∠MDN=∠PDN，從而用SSS得出△DMN≌△DPN，即可；
（3）先求出∠A和∠EOF得出∠A+∠EOF=180°，然后用（1）的結(jié)論HG=HP=HF+FP，最后代值HF=1200米，F(xiàn)P=1000米，即可．

解答 解：（1）如圖1，

延長(zhǎng)BA到P，使AP=CM，連接PD，
∵∠BAD=∠C=90°，
∴∠DAP=90°，
在△CDM和△ADP中$\left\{\begin{array}{l}{CM=AP}\\{∠C=∠DAP}\\{CD=AD}\end{array}\right.$，
∴△CDM≌△ADP（SAS），
∴DM=DP，∠CDM=∠ADP，
在四邊形ABCD中，∠C=∠BAD=90°，∠B=60°，
∴根據(jù)四邊形的內(nèi)角和得，∠ADC=120°，
∵∠MDN=60°，
∴∠CDM+∠ADN=60°，
∵∠CDM=∠ADP，
∴∠MDN=∠PDN，
在△DMN和△DPN中，$\left\{\begin{array}{l}{DM=DP}\\{∠MDN=∠PDN}\\{DN=DN}\end{array}\right.$，
∴△DMN≌△DPN（SAS），
∴MN=PN=AN+AP=AN+CM；
故答案為：SAS，SAS，MN=AN+CM
（2）如圖2，

延長(zhǎng)BA到P，使AP=CM，連接PD，
∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAP=180°，
∴∠C=∠DAP，
在△CDM和△ADP中$\left\{\begin{array}{l}{CM=AP}\\{∠C=∠DAP}\\{CD=AD}\end{array}\right.$，
∴△CDM≌△ADP（SAS），
∴DM=DP，∠CDM=∠ADP，
∵CM=AP，
∴MN=AN+CM=AN+AP=PN，
在△DMN和△DPN中，$\left\{\begin{array}{l}{DM=DP}\\{MN=PN}\\{DN=DN}\end{array}\right.$
∴△DMN≌△DPN（SSS），
∴∠MDN=∠PDN=∠ADP+∠ADN，
∵∠CDM=∠ADP，
∴∠MDN=∠CDM+∠ADN=$\frac{1}{2}$∠ADC，
在四邊形ABCD中，∠BAD+∠C=180°，
∴根據(jù)四邊形的內(nèi)角和得，∠B+∠ADC=180°，
∴∠B+2∠MDN=180°，
∵∠B=α，
∴∠MDN=$\frac{180°-α}{2}$=90°-$\frac{1}{2}$α．
（3）如圖3，

延長(zhǎng)EG，F(xiàn)H相較于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)F作FN⊥AE，
∴乙同學(xué)以120米/分鐘的速度向北偏西60°方向前進(jìn)，
∴∠NFA=60°，
∴∠A=30°，
∵甲同學(xué)在指揮部東北方向的E處，乙同學(xué)在指揮部南偏西75°的F處，
∴∠DOE=45°，∠BOF=75°，
∴∠MOF=90°-75°=15°，
∴∠EOF=∠DOE+∠DOM+MOF=150°，
∴∠A+∠EOF=180°，
延長(zhǎng)AF至點(diǎn)P，使FP=GE，
滿(mǎn)足（1）的條件，則有HG=HP=HF+FP，
∵甲同學(xué)以100米/分鐘的速度向正西方向前進(jìn)，乙同學(xué)以120米/分鐘的速度向北偏西60°方向前進(jìn)．10分鐘后，指揮部監(jiān)測(cè)到甲、乙兩同學(xué)分別到達(dá)G、H處，
∴GE=100×10=1000米，HF=120×10=1200米，
∴HG=HF+FP=1200+1000=2200米，
即：甲、乙兩同學(xué)之間的距離為2200米．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，主要考查了鄰補(bǔ)角，全等三角形的性質(zhì)和判定，方位角，結(jié)論的應(yīng)用，構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵，利用結(jié)論求甲、乙兩同學(xué)之間的距離是解本題的難點(diǎn)．