Question

7．如圖①，△ABC與△CDE是等腰直角三角形，直角邊AC、CD在同一條直線上，點(diǎn)M，N分別是斜邊AB，DE的中點(diǎn)，點(diǎn)P為AD的中點(diǎn)，連接AE、BD、MN．
（1）求證：△PMN為等腰直角三角形；
（2）現(xiàn)將圖①中的△CDE繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），得到圖②，AE與MP，BD分別交于點(diǎn)G、H，請判斷①中的結(jié)論是否成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性質(zhì)易證△ACE≌△BCD，由此可得AE=BD，再根據(jù)三角形中位線定理即可得到PM=PN，由平行線的性質(zhì)可得PM⊥PN，于是得到結(jié)論；
（2）（1）中的結(jié)論仍舊成立，由（1）中的證明思路即可證明．

解答 解：（1）∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，
∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．
在△ACE和△BCD中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACB=∠ECD=90°}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD，∠EAC=∠CBD，
∵∠CBD+∠BDC=90°，
∴∠EAC+∠BDC=90°，
∵點(diǎn)M、N分別是斜邊AB、DE的中點(diǎn)，點(diǎn)P為AD的中點(diǎn)，
∴PM=$\frac{1}{2}$BD，PN=$\frac{1}{2}$AE，
∴PM=PM，
∵PM∥BD，PN∥AE，
∴∠NPD=∠EAC，∠MPA=∠BDC，
∵∠EAC+∠BDC=90°，
∴∠MPA+∠NPC=90°，
∴∠MPN=90°，
即PM⊥PN，
∴△PMN為等腰直角三角形；

（2）①中的結(jié)論成立，
理由：設(shè)AE與BC交于點(diǎn)O，如圖②所示：
∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，
∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．
在△ACE和△BCD中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACB=∠ECD=90°}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD，∠CAE=∠CBD． 　　　　
∵∠AOC=∠BOE，∠CAE=∠CBD，
∴∠BHO=∠ACO=90°，
∴AE⊥BD，
∵點(diǎn)P、M、N分別為AD、AB、DE的中點(diǎn)，
∴PM=$\frac{1}{2}$BD，PM∥BD，PN=$\frac{1}{2}$AE，PN∥AE，
∴PM=PN．　　　　　　　　　　　　   
∵AE⊥BD，
∴PM⊥PN，
∴△PMN為等腰直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形中位線定理等知識(shí)；熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解答此題的關(guān)鍵．