Question

4．如圖①所示的正三角形紙板的邊長為1，周長記為P₁，沿圖①的底邊剪去一塊邊長為$\frac{1}{2}$的正三角形紙板后得到圖②，然后沿同一底邊一次剪去一塊更小的正三角板（即其邊長為前一塊被減掉正三角形紙板邊長的$\frac{1}{2}$）后，得圖③，圖④，…，記第n（n≥3）塊紙板的周長為P_n，則P_n-P_n-1=${（\frac{1}{2}）}^{n-1}$（用含n的代數(shù)式表示）

Answer 1

分析 利用等邊三角形的性質(zhì)（三邊相等）求出等邊三角形的周長P₁，P₂，P₃，P₄，根據(jù)周長相減的結(jié)果能找到規(guī)律即可求出答案．

解答 解：∵P₁=1+1+1=3，
P₂=1+1+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
P₃=1+1+$\frac{1}{4}$×3=$\frac{11}{4}$，
P₄=1+1+$\frac{1}{4}$×2+$\frac{1}{8}$×3=$\frac{23}{8}$，
…
∴p₃-p₂=$\frac{11}{4}$-$\frac{5}{2}$=$\frac{1}{4}$=（$\frac{1}{2}$）²；
P₄-P₃=$\frac{23}{8}$-$\frac{11}{4}$=$\frac{1}{8}$=（$\frac{1}{2}$）³，
…
則P_n-P_n-1=（$\frac{1}{2}$）^n-1．
故答案為：${（\frac{1}{2}）}^{n-1}$．

點(diǎn)評 此題考查圖形的變化規(guī)律，解答此題的關(guān)鍵是通過觀察圖形，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的運(yùn)算規(guī)律，并應(yīng)用規(guī)律解決問題．