Question

4．等腰△ABC和等腰△ADE中，AB=AC，AD=DE，∠BAC=∠ADE=α，點D在BC上，連CE
（1）如圖1，α=90°時，求∠DCE的度數(shù)．
（2）選用圖2或圖3其中的一個，求證：AB∥CE．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求得∠ACD=∠AED，再根據(jù)∠AOC=∠DOC，判定△AOC∽△DOC，進而判定△AOD∽△COE，得出∠ECO=∠DAO=45°；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求得∠ACD=∠AED，再根據(jù)∠AOE=∠DOC，判定△AOE∽△DOC，進而判定△AOD∽△EOC，得出∠ECO=∠ADE，最后根據(jù)∠BAC=∠ADE得出∠ECO=∠BAC，即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求得∠ACD=∠AED，再根據(jù)∠AOC=∠DOE，判定△AOC∽△DOE，進而判定△AOD∽△COE，得出∠ECO=∠DAO，最后根據(jù)∠B=∠DAO得出∠ECO=∠B，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，∵等腰△ABC和等腰△ADE中，AB=AC，AD=DE，∠BAC=∠ADE=90°，
∴∠ACD=∠AED=45°，
又∵∠AOC=∠DOC，
∴△AOC∽△DOC，
∴$\frac{AO}{DO}=\frac{CO}{EO}$，
即$\frac{AO}{CO}=\frac{DO}{EO}$，
又∵∠AOD=∠COE，
∴△AOD∽△COE，
∴∠ECO=∠DAO=45°，
故∠DCE的度數(shù)為45°；

（2）如圖2，∵等腰△ABC和等腰△ADE中，AB=AC，AD=DE，∠BAC=∠ADE，
∴∠ACD=∠AED，
又∵∠AOE=∠DOC，
∴△AOE∽△DOC，
∴$\frac{AO}{DO}$=$\frac{EO}{CO}$，
即$\frac{AO}{EO}$=$\frac{DO}{CO}$，
又∵∠AOD=∠EOC，
∴△AOD∽△EOC，
∴∠ECO=∠ADO，
又∵∠BAC=∠ADE，
∴∠ECO=∠BAC，
∴AB∥CE．

如圖3，等腰△ABC和等腰△ADE中，AB=AC，AD=DE，∠BAC=∠ADE，
∴∠ACD=∠AED，
又∵∠DOE=∠AOC，
∴△DOE∽△AOC，
∴$\frac{AO}{DO}$=$\frac{CO}{EO}$，
即$\frac{AO}{CO}$=$\frac{DO}{EO}$，
又∵∠AOD=∠COE，
∴△AOD∽△COE，
∴∠ECO=∠DAO，
又∵∠B=∠DAO，
∴∠ECO=∠B，
∴AB∥CE．

點評 本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是掌握：兩角對應相等的兩個三角形相似；內(nèi)錯角相等，兩直線平行．解題時注意：當兩個等腰三角形的頂角相等時，它們的底角也相等，即兩個等腰三角形相似．