Question

【題目】如圖，菱形ABCD中，
（1）若半徑為1的⊙O經(jīng)過點A、B、D，且∠A＝60°，求此時菱形的邊長；
（2）若點P為AB上一點，把菱形ABCD沿過點P的直線a折疊，使點D落在BC邊上，利用無刻度的直尺和圓規(guī)作出直線a．（保留作圖痕跡，不必說明作法和理由）

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，連接OA，作OE⊥AB，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB=AD，
∵∠A＝60°，
∴△ABD為等邊三角形，
∵半徑為1的⊙O經(jīng)過點A、B、D，OE⊥AB，
∴∠OAE＝30°，AB=2AE，
∴cos∠OAE=cos30=,
∴AE=，
∴AB=2AE=，
∴菱形的邊長為.


（2）解：如圖：連接PD，以點P為圓心PD為半徑畫弧交BC于點D′，連接DD′，過點P作D′D的垂線a，直線a即為所求直線.


【解析】（1）連接OA，作OE⊥AB，由菱形的性質(zhì)得AB=AD，由等邊三角形的判定——有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形，即△ABD為等邊三角形，再根據(jù)垂徑定理得∠OAE＝30°，AB=2AE，由銳角三角函數(shù)得cos∠OAE=cos30°=,即AE=，得AB=2AE=
（2）由菱形和垂直平分線的性質(zhì)根據(jù)題意即可畫出圖形.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用等邊三角形的判定和菱形的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握三個角都相等的三角形是等邊三角形；有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形；菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半．