Question

【題目】如圖1，點，分別是邊長為的等邊邊，上的動點，點從頂點，點從頂點同時出發(fā)，且它們的速度都為

(1)連接，交于點，則在，運動的過程中，變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)；

(2)何時是直角三角形？

(3)如圖2，若點，在運動到終點后繼續(xù)在射線，上運動，直線，交點為.則變化嗎？若變化。則說明理由， 若不變，則求出它的度數(shù).

Answer 1

【答案】（1）不變，；（2）當(dāng)?shù)?/span>秒或第秒時，△PBQ為直角三角形；（3）不變，120°.

【解析】

（1）因為點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s，所以AP＝BQ．AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60°，因而運用邊角邊定理可知△ABQ≌△CAP．再用全等三角形的性質(zhì)定理及三角形的角間關(guān)系、三角形的外角定理，可求得CQM的度數(shù)．

（2）設(shè)時間為t，則AP＝BQ＝t，PB＝4t．分別就①當(dāng)∠PQB＝90°時；②當(dāng)∠BPQ＝90°時利用直角三角形的性質(zhì)定理求得t的值．

（3）首先利用邊角邊定理證得△PBC≌△QCA，再利用全等三角形的性質(zhì)定理得到∠BPC＝∠MQC．再運用三角形角間的關(guān)系求得∠CMQ的度數(shù)．

解：（1）∠CMQ＝60°不變．

∵等邊三角形中，AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60°

又由條件得AP＝BQ，

∴△ABQ≌△CAP（SAS），

∴∠BAQ＝∠ACP，

∴∠CMQ＝∠ACP＋∠CAM＝∠BAQ＋∠CAM＝∠BAC＝60°．

（2）設(shè)時間為t，則AP＝BQ＝t，PB＝4t

①當(dāng)∠PQB＝90°時，

∵∠B＝60°，

∴PB＝2BQ，得4t＝2t，t＝；

②當(dāng)∠BPQ＝90°時，

∵∠B＝60°，

∴BQ＝2BP，得t＝2（4t），t＝；

∴當(dāng)?shù)?/span>秒或第秒時，△PBQ為直角三角形．

（3）∠CMQ＝120°不變．

∵在等邊三角形中，BC＝AC，∠B＝∠CAP＝60°

∴∠PBC＝∠ACQ＝120°，

又由條件得BP＝CQ，

∴△PBC≌△QCA（SAS）

∴∠BPC＝∠MQC

又∵∠PCB＝∠MCQ，

∴∠CMQ＝∠PBC＝180°60°＝120°