Question

如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB和CD的中點，連接DE，BF，且AB=2AD=4
（1）求證：△AED≌△CFB；
（2）當四邊形DEBF為菱形時，求出該菱形的面積．

Answer 1

考點：平行四邊形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),菱形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AD=BC，∠A=∠C，再加上條件AE=CF可利用SAS證明△ADE≌△CBF；
（2）過F作FM⊥BE，由題目的已知條件易證△BFC是等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)可求出FM的長，再根據(jù)菱形的面積公式計算即可．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，
∵E，F(xiàn)分別為邊AB和CD的中點，
∴AE=

1

2

AB，CF=

1

2

DC，
∴AE=CF，
在△ADE和△CBF中，

AD=CB ∠A=∠C AE=CF

，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）∵四邊形DEBF為菱形，
∴BE=BF=

1

2

AB=2，
∵CF=

1

2

CD=

1

2

AB=2，BC=AD=

1

2

AB=2，
∴BC=BF=CF，
∴△BCF是等邊三角形，
∴∠1=60°，
∴∠2=30°，
∴MB=

1

2

BF=1，
∴FM=

3

，
∴該菱形的面積=BE•FM=2×

3

=2

3

．

點評：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，以及菱形的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握全等三角形的判定定理，以及菱形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)．