Question

【題目】如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在射線BC上，且PE＝PB，連接PD，O為AC中點(diǎn)．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段AO上時(shí)，試猜想PE與PD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）①如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上時(shí)，（1）中的猜想還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；

②如圖2，試用等式來(lái)表示PB,BC,CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

（3）如圖3，把正方形ABCD改為菱形ABCD，其他條件不變，當(dāng)時(shí)，連接DE，試探究線段PB與線段DE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）PE=PD,PE⊥PD，證明詳見(jiàn)解析；（2）①成立PE=PD,PE⊥PD,證明詳見(jiàn)解析；②，證明詳見(jiàn)解析；(3)PB=DE,證明詳見(jiàn)解析.

【解析】

試題

（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)P分別作PM⊥BC于點(diǎn)M，PN⊥CD于點(diǎn)N，則由已知條件可得PM=PN，∠MPN=90°，由正方形關(guān)于對(duì)角線對(duì)稱可得PB=PD，結(jié)合PB=PE可得PE=PD，從而可得△PME≌△PND，由此可得∠EPM=∠DPN，從而可證得∠DPE=90°，得到PD⊥PE；

（2）①如圖2，過(guò)點(diǎn)P分別作PM⊥BC于點(diǎn)M，PN⊥CD于點(diǎn)N，同（1）可證得PD=PE，PD⊥PE仍然成立；

②如圖2，連接DE，在Rt△DCE中，由勾股定理可得DC2+CE2=DE2，結(jié)合在等腰Rt△DPE中，DE2=2PE2及PE=PB，BC=DC即可得到BC2+CE2=2PB2；

（3）如圖3，由已知條件易得∠DCE=∠ACD=∠ACB=60°，由菱形關(guān)于對(duì)角線對(duì)稱可得PB=PE，∠OBC=∠PDC，結(jié)合PB=PE可得∠PEC=∠PBC=∠PDC及PE=PD，再結(jié)合∠PHD=∠CHE可得∠DPE=∠DCE=60°，從而可得△PDE是等邊三角形，由此即可得到DE=PE=PB.

試題解析：

（1）PD=PE且PD⊥PE，理由如下：

如圖1，過(guò)點(diǎn)P分別作PM⊥BC于點(diǎn)M，PN⊥CD于點(diǎn)N，

∴∠PME=∠PND=90°，

∵四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)P在AC上，

∴∠BCD=90°，PM=PN，PB=PD，

∴四邊形PMCN是正方形，

∴∠MPN=90°，

∵PB=PE，

∴PE=PD，

∴Rt△PME≌Rt△PND，

∴∠DPN=∠EPM，

∴∠DPN+∠NPE=∠NPE+∠EPM=∠MPN=90°，

∴PD⊥PE，

∴PE與PE關(guān)系是：PD=PE且PD⊥PE；

（2）①如圖2，過(guò)點(diǎn)P分別作PM⊥BC于點(diǎn)M，PN⊥CD于點(diǎn)N，和（1）同法可證得PD=PE，PD⊥PE仍然成立；

②如圖2，連接DE，

由①可得PE=PD，PE⊥PD，

∴DE2=PD2+PE2=2PE2，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC=DC，∠BCD=∠DCE=90°，

∴在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，

∴BC2+CE2=DE2=2PE2，

又∵PE=PB，

∴BC2+CE2=2PB2.

（3）如圖3，∵四邊形ABCD是菱形，且∠BAD=120°，

∴∠ACB=∠ACD=60°，

∴∠DCE=180°-60°-60°=60°，

∵點(diǎn)P在對(duì)稱性AC上，

∴由菱形是關(guān)于對(duì)角線對(duì)稱的軸對(duì)稱圖形可得：PD=PB，∠PDC=∠PBC，

∵PB=PE，

∴PD=PE，∠PBC=∠PEC，

∴∠PEC=∠PDC，

又∵∠PHD=∠CHE，

∴∠DPE=∠DCE=60°，

∴△PED是等邊三角形，

∴DE=PE，

∴DE=PB.