Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，且∠BCD∠A．

(1)求證：CD是⊙O的切線；

(2)若AC2，ABCD，求⊙O半徑．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)

【解析】

（1）連接OC．因?yàn)?/span>AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，可求得∠ACB=90°，因?yàn)?/span>OA=OC，∠BCD=∠A，可得∠ACO=∠A=∠BCD，易得∠OCD=90°，即CD是⊙O的切線．

（2）設(shè)CD為x，分別表示出AB和OC的長(zhǎng)度，由勾股定理可求得OD=x,所以BD=OD﹣OB= x，易證△ADC∽△CDB，利用相似三角形的性質(zhì)求得CB=1，利用勾股定理求出，可得半徑為.

(1)證明：如圖，連接OC．

∵AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，

∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°．

∵OA=OC，∠BCD=∠A，

∴∠ACO=∠A=∠BCD，

∴∠BCD+∠OCB=90°，即∠OCD=90°，

∴CD是⊙O的切線．

(2)解：設(shè)CD為x，

則AB=x，OC=OB=x，

∵∠OCD=90°，

∴OD==x，

∴BD=OD﹣OB=x﹣x=x，

∵∠BCD＝∠A，∠BDC＝∠CDA，

∴△ADC∽△CDB，

∴，

即，

解得CB=1，

∴AB=

∴⊙O半徑是．