2.已知二次函數(shù)y=x2+2bx+c(b、c為常數(shù)).
(Ⅰ)當b=1,c=-3時,求二次函數(shù)在-2≤x≤2上的最小值;
(Ⅱ)當c=3時,求二次函數(shù)在0≤x≤4上的最小值;
(Ⅲ)當c=4b2時,若在自變量x的值滿足2b≤x≤2b+3的情況下,與其對應的函數(shù)值y的最小值為21,求此時二次函數(shù)的解析式.

分析 (Ⅰ)把b=1,c=-3代入函數(shù)解析式,求二次函數(shù)的最小值;
(Ⅱ)根據(jù)當c=3時,分情況討論求出二次函數(shù)最小值;
(Ⅲ)當c=4b2時,寫出解析式,分三種情況減小討論即可

解答 解:(Ⅰ)當b=1,c=-3時,二次函數(shù)解析式為y=x2+2x-3=(x+1)2-4,
∴x=-1在-2≤x≤2的范圍內,此時函數(shù)取得最小值為-4,
(Ⅱ)y=x2+2bx+3,的對稱軸為x=-b,
①若-b<0,即b>0時,當x=0時,y有最小值為3,
②若0≤b≤4,即:-4≤b≤0時,當x=-b時,y有最小值-b2+3;
③若-b>4,即b<-4時,當x=-4時,y有最小值為8b+19,
(Ⅲ)當c=4b2時,二次函數(shù)的解析式為y=x2+2bx+4b2,它的開口向上,對稱軸為x=-b的拋物線,
①若-b<2b,即b>0時,在自變量x的值滿足2b≤x≤2b+3的情況下,與其對應的函數(shù)值y隨x增大而增大,
∴當x=2b時,y=(2b)2+2b×2b+(2b)2=12b2為最小值,
∴12b2=21,
∴b=$\frac{\sqrt{7}}{2}$或b=-$\frac{\sqrt{7}}{2}$(舍)
∴二次函數(shù)的解析式為y=x2+$\sqrt{7}$x+7,
②若2b≤-b≤2b+3,即-1≤b≤0,
當x=-b時,代入y=x2+2bx+4b2,得y最小值為3b2
∴3b2=21
∴b=-$\sqrt{7}$(舍)或b=$\sqrt{7}$(舍),
③若-b>2b+3,即b<-1,在自變量x的值滿足2b≤x≤2b+3的情況下,與其對應的函數(shù)值y隨x增大而減小,
∴當x=2b+3時,代入二次函數(shù)的解析式為y=x2+2bx+4b2中,得y最小值為12b2+18b+9,
∴12b2+18b+9=21,
∴b=-2或b=$\frac{1}{2}$(舍),
∴二次函數(shù)的解析式為y=x2-4x+16.
綜上所述,b=$\frac{\sqrt{7}}{2}$或b=-2,此時二次函數(shù)的解析式為y=x2+$\sqrt{7}$x+7或y=x2-4x+16

點評 本題是二次函數(shù)綜合題,主要考查了二次函數(shù)的最值:確定一個二次函數(shù)的最值,首先看自變量的取值范圍,當自變量取全體實數(shù)時,其最值為拋物線頂點坐標的縱坐標;當自變量取某個范圍時,要分別求出頂點和函數(shù)端點處的函數(shù)值,比較這些函數(shù)值,從而獲得最值.

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