Question

17．在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別為A（2，0），B（0，4），C（-3，2）．
（1）如圖1，求△ABC的面積．
（2）若點P的坐標為（m，0），
①請直接寫出線段AP的長為|m-2|（用含m的式子表示）；
②當S_△PAB=2S_△ABC時，求m的值．
（3）如圖2，若AC交y軸于點D，直接寫出點D的坐標為（0，$\frac{4}{5}$）．

Answer 1

分析 （1）過點C作CD⊥x軸，垂足為D，過點B作BE⊥CD，交DC延長線于E，過點A作AF⊥BE，交EB延長線于F，由題意得出∴D（-3，0），E（-3，4），F(xiàn)（2，4）．得出AD=5，CD=2，BE=3，CE=2，DE=4，BF=2，AF=4．S_△ABC=S_矩形ADEF-S_△ACD-S_△BCE-S_△ABF，即可得出結果；
（2）①根據(jù)題意容易得出結果；
②由三角形面積關系得出方程，解方程即可；
（3）與待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，即可得出點D的坐標．

解答 解：（1）過點C作CD⊥x軸，垂足為D，過點B作BE⊥CD，交DC延長線于E，
過點A作AF⊥BE，交EB延長線于F．如圖所示：
∵A（2，0），B（0，4），C（-3，2）
∴D（-3，0），E（-3，4），F(xiàn)（2，4）．
∴AD=5，CD=2，BE=3，CE=2，DE=4，BF=2，AF=4．
∴S_△ABC=S_矩形ADEF-S_△ACD-S_△BCE-S_△ABF=$AD•DE-\frac{1}{2}AD•CD-\frac{1}{2}CE•BE-\frac{1}{2}BF•AF$=$5×4-\frac{1}{2}×5×2-\frac{1}{2}×2×3-\frac{1}{2}×2×4$=8．
答：△ABC的面積是8．
（2）①根據(jù)題意得：AP=|m-2|；
故答案為：|m-2|；
②∵S_△PAB=2S_△ABC
∴$\frac{1}{2}•AP•BO=2×8$
∴AP=|m-2|=8，
∴m-2=8或m-2=-8，
∴m=10或m=-6；
（3）設直線AC的解析式為y=kx+b，
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{-3k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：k=-$\frac{2}{5}$，b=$\frac{4}{5}$；
∴直線AC的解析式為y=-$\frac{2}{5}$x+$\frac{4}{5}$，
當x=0時，y=$\frac{4}{5}$，
∴D（0，$\frac{4}{5}$），；
故答案為：（0，$\frac{4}{5}$）．

點評 本題考查了坐標與圖形性質、三角形面積的計算方法、待定系數(shù)法求直線的解析式；熟練掌握坐標與圖形性質，求出直線AC的解析式是解決問題（3）的關鍵．