Question

【題目】已如如圖1，在平面直角坐標系中，點A的坐標為(6，0)、點B的坐標為(0，8)，點C在y軸上，作直線AC．點B關(guān)于直線AC的對稱點B′剛好在x軸上，連接CB′．

（1）寫出點B′的坐標，并求出直線AC對應(yīng)的函數(shù)表達式；

（2）點D在線段AC上，連接DB、DB′、BB′，當△DBB′是等腰直角三角形時，求點D坐標；

（3）如圖2，在（2）的條件下，點P從點B出發(fā)以每秒2個單位長度的速度向原點O運動，到達點O時停止運動，連接PD，過D作DP的垂線，交x軸于點Q，問點P運動幾秒時△ADQ是等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）B'(﹣4，0)，y＝﹣x+3；（2）D(2，2)；（3）點P的運動時間為1秒或5﹣秒

【解析】

（1）由題意求出，根據(jù)與關(guān)于直線對稱，求出坐標，設(shè)點，求出，設(shè)直線的解析式為，把A，C代入可得AC表達式；

（2）由已知可得是等腰直角三角形，過點作軸，軸，證明 ，得出，設(shè)點代入中，即可求出點D坐標；

（3）由（2）可得，證明，得到，分①當時，②當時，③當時，三種情況分別進行討論.

解：（1）∵A的坐標為（6，0）、點B的坐標為（0，8），

∴OA＝6，OB＝8，

∵∠AOB＝90°，

∴AB＝10，

∵B與B′關(guān)于直線AC對稱，

∴AC垂直平分BB′，

∴BC＝CB′，AB'＝AB＝10，

∴B′（﹣4，0），

設(shè)點C（0，m），

∴OC＝m，

∴CB′＝CB＝8﹣m，

∵在Rt△COB′中，∠COB′＝90°，

∴m2+16＝（8﹣m）2，

∴m＝3，

∴C（0，3），

設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b（k≠0），

把A（6，0），C（0，3）代入可得k＝-，b＝3，

∴y＝-x+3；

（2）∵AC垂直平分BB′，

∴DB＝DB′，

∵△BDB′是等腰直角三角形，

∴∠BDB′＝90°，

過點D作DE⊥x軸，DF⊥y軸，

∴∠DFO＝∠DFB＝∠DEB′＝90°，

∵∠EDF＝360°﹣∠DFB﹣∠DEO﹣∠EOF，∠EOF＝90°，

∴∠EDF＝90°，

∴∠EDF＝∠BDB′，

∴∠BDF＝∠EDB′，

∴△FDB≌△EDB′（AAS），

∴DF＝DE，

設(shè)點D（a，a）代入y＝﹣x+3中，

∴a＝2，

∴D（2，2）；

（3）同（2）可得∠PDF＝∠QDE，

∵DF＝DE＝2，∠PDF＝∠QDE＝90°，

∴△PDF≌△QDE（AAS），

∴PF＝QE，

①當DQ＝DA時，

∵DE⊥x軸，

∴QE＝AE＝4，

∴PF＝QE＝4，

∴BP＝BF﹣PF＝2，

∴點P運動時間為1秒；

②當AQ＝AD時，

∵A（6，0）、D（2，2），

∴AD＝2，

∴AQ＝2﹣4，

∴PF＝QE＝2﹣4，

∴BP＝BF﹣PF＝10﹣2，

∴點P的運動時間為5﹣秒；

③當QD＝QA時，

設(shè)QE＝n，

則QD＝QA＝4﹣n，

在Rt△DEQ中，∠DEQ＝90°，

∴4+n2＝（4﹣n）2，

∴n＝1.5，

∴PF＝QE＝1.5，

∴BP＝BF+PF＝7.5，

∴點P的運動時間為7.5秒，

∵0≤t≤4，

∴t＝7.5舍去，

綜上所述：點P的運動時間為1秒或5﹣秒．