Question

8．如圖，等邊三角形ABC中，D為AC上一點(diǎn)，E為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DE⊥AC交BC于點(diǎn)F，且DF=EF．
（1）求證：CD=BE；
（2）若AB=12，試求BF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）先作DM∥AB，交CF于M，可得△CDM為等邊三角形，再判定△DMF≌△EBF，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，得出結(jié)論；
（2）根據(jù)CD⊥AC，∠A=60°=∠ABC，可得∠E=∠BFE=∠DFM=∠FDM=30°，由此得出CM=MF=BF=$\frac{1}{3}$BC，最后根據(jù)AB=12即可求得BF的長(zhǎng)．

解答 解：（1）如圖，作DM∥AB，交CF于M，則∠DMF=∠E，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠C=60°=∠CDM=∠CMD，
∴△CDM是等邊三角形，
∴CD=DM，
在△DMF和△EBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DMF=∠E}\\{DF=EF}\\{∠DFM=∠EFB}\end{array}\right.$，
∴△DMF≌△EBF（ASA），
∴DM=BE，
∴CD=BE；

（2）∵CD⊥AC，∠A=60°=∠ABC，
∴∠E=∠BFE=∠DFM=∠FDM=30°，
∴BE=BF，DM=FM，
又∵△DMF≌△EBF，
∴MF=BF，
∴CM=MF=BF，
又∵AB=BC=12，
∴CM=MF=BF=4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作平行線，構(gòu)造等邊三角形和全等三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解．