Question

18．已知，如圖，在矩形ABCD中，AD=4，AB=8，等腰△EFG，EG=FG=3，EF=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，點D與點F重合，將△EFG繞點D順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），在旋轉(zhuǎn)過程中，設直線EG分別與BA、射BD相交于M、N，當△BMN是以∠ABD為底角的等腰三角形時，線段BM=$\frac{13}{2}$．

Answer 1

分析 如圖，作DR⊥EG于R，GH⊥DE于H，作MP⊥BD于P．思想利用勾股定理求出GH，再根據(jù)$\frac{1}{2}$•DE•GH=$\frac{1}{2}$•EG•DR，求出DR，由sin∠DNR=sin∠ABD=$\frac{DG}{DN}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
推出DN=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，推出BN=DN+BD=$\frac{26\sqrt{5}}{5}$，由MN=MB，MP⊥BN，推出BP=ON=$\frac{13\sqrt{5}}{5}$，由cos∠PBM=$\frac{PB}{BM}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，即可解決問題．

解答 解：如圖，作DR⊥EG于R，GH⊥DE于H，作MP⊥BD于P．

∵∠MNB=∠MBN，
∴MN=MB，
∵GE=GF=3，GH⊥EF，
∴EH=HF=$\frac{3}{5}$$\sqrt{5}$，
∴GH=$\sqrt{E{G}^{2}-E{H}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{3\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∵$\frac{1}{2}$•DE•GH=$\frac{1}{2}$•EG•DR，
∴DR=$\frac{DE•GH}{EG}$=$\frac{\frac{3\sqrt{5}}{5}•\frac{6\sqrt{5}}{5}}{3}$=$\frac{6}{5}$，
在Rt△ABD中，BD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
由sin∠DNR=sin∠ABD=$\frac{DG}{DN}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴DN=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∴BN=DN+BD=$\frac{26\sqrt{5}}{5}$，
∵MN=MB，MP⊥BN，
∴BP=ON=$\frac{13\sqrt{5}}{5}$，
由cos∠PBM=$\frac{PB}{BM}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴BM=$\frac{13}{2}$．

點評 本題考查旋轉(zhuǎn)變換、矩形的性質(zhì)、解直角三角形、銳角三角函數(shù)、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，學會利用面積法求線段的長，屬于中考填空題中的壓軸題．