Question

1．如圖，⊙O的直徑$AB=6，∠ABC=30°，BC=6\sqrt{3}$，D是線段BC的中點(diǎn)．
（1）試判斷點(diǎn)D與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由； 
（2）過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E，求證直線DE是⊙O的切線．

Answer 1

分析 （1）設(shè)BC交⊙O于F，連接AF，求出BF和BD的長，即可得出答案；
（2）連接OD，求出OD∥AC，求出OD⊥DE，根據(jù)切線的判定得出即可．

解答 （1）解：點(diǎn)D與⊙O的位置關(guān)系是D在⊙O上，
理由是：
設(shè)BC交⊙O于F，連接AF，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AFB=90°，
∵AB=6，∠ABC=30°，
∴AF=$\frac{1}{2}$AB=3，由勾股定理得：BD=3$\sqrt{3}$，
∵BC=6$\sqrt{3}$，D為BC的中點(diǎn)，
∴BD=3$\sqrt{3}$，
即D、F互相重合，
∴D在⊙O上；

（2）證明：連接OD，
∵D為BC的中點(diǎn)，AO=BO，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD為半徑，
∴直線DE是⊙O的切線．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，切線的判定，解直角三角形，圓周角定理的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．