Question

9．如圖，一次函數(shù)y₁=ax+b（a≠0）的圖象與反比例函數(shù)y₂=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象交于A、B兩點，與x軸、y軸分別交于C、D兩點．已知：OA=$\sqrt{10}$，tanAOC=$\frac{1}{3}$，點B的坐標為（$\frac{3}{2}$，m）
（1）求該反比例函數(shù)的解析式和點D的坐標；
（2）點M在射線CA上，且MA=2AC，求△MOB的面積．

Answer 1

分析 （1）過A作AE⊥x軸于點E，在Rt△AOE中，可根據(jù)OA的長求得A點坐標，代入反比例函數(shù)解析式可求反比例函數(shù)解析式，進一步可求得B點坐標，利用待定系數(shù)法可求得直線AB的解析式，則可求得D點坐標；
（2）過M作MF⊥x軸于點F，可證得△MFC∽△AEC，可求得MF的長，代入直線AB解析式可求得M點坐標，進一步可求得△MOB的面積．

解答 解：
（1）如圖1，過A作AE⊥x軸于E，

在Rt△AOE中，tan∠AOC=$\frac{AE}{OE}$=$\frac{1}{3}$，
設AE=a，則OE=3a，
∴OA=$\sqrt{A{E}^{2}+O{E}^{2}}$=$\sqrt{10}$a，
∵OA=$\sqrt{10}$，
∴a=1，
∴AE=1，OE=3，
∴A點坐標為（-3，1），
∵反比例函數(shù)y₂=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象過A點，
∴k=-3，
∴反比例函數(shù)解析式為y₂=-$\frac{3}{x}$，
∵反比例函數(shù)y₂=-$\frac{3}{x}$的圖象過B（$\frac{3}{2}$，m），
∴$\frac{3}{2}$m=-3，解得m=-2，
∴B點坐標為（$\frac{3}{2}$，-2），
設直線AB解析式為y=nx+b，把A、B兩點坐標代入可得$\left\{\begin{array}{l}{-3n+b=1}\\{\frac{3}{2}n+b=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{n=-\frac{2}{3}}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=-$\frac{2}{3}$x-1，
令x=1，可得y=-1，
∴D點坐標為（0，-1）；
（2）由（1）可得AE=1，
∵MA=2AC，
∴$\frac{CA}{CM}$=$\frac{1}{3}$，
如圖2，過M作MF⊥x軸于點F，則△CAE∽△CMF，

∴$\frac{CA}{CM}$=$\frac{AE}{MF}$=$\frac{1}{3}$，
∴MF=3，即M點的縱坐標為3，
代入直線AB解析式可得3=-$\frac{2}{3}$x-1，解得x=-6，
∴M點坐標為（-6，3），
∴S_△MOB=$\frac{1}{2}$OD•（x_B-x_M）=$\frac{1}{2}$×1×（$\frac{3}{2}$+6）=$\frac{15}{4}$，
即△MOB的面積為$\frac{15}{4}$．

點評 本題主要考查函數(shù)的交點問題，掌握函數(shù)的交點坐標滿足每一個函數(shù)解析式是解題的關鍵，在求△MOB的面積時注意坐標的靈活運用．