Question

8．已知直線y=-$\frac{4}{3}$x+4與x軸和y軸分別交于B、A兩點(diǎn)，另一直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)D（11，6）．
（1）求A、B的坐標(biāo)；
（2）求直線BD的解析式；
（3）證明：△ABD是直角三角形．

Answer 1

分析 （1）分別令函數(shù)解析式中x=0、y=0，求出對(duì)應(yīng)的y、x的值，即可得出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）結(jié)合點(diǎn)B、D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出直線BD的解析式；
（3）過(guò)點(diǎn)D作DM⊥y軸于點(diǎn)M，根據(jù)勾股定理求出AD²和AB²，由兩點(diǎn)間的距離公式求出BD²，即可得出三者滿足AD²=AB²+BD²，從而證得△ABD是直角三角形．

解答 解：（1）令y=-$\frac{4}{3}$x+4中x=0，則y=4，
∴點(diǎn)A（0，4）；
令y=-$\frac{4}{3}$x+4中y=0，則-$\frac{4}{3}$x+4=0，解得：x=3，
∴點(diǎn)B（3，0）．
（2）設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，
將點(diǎn)B（3，0）、D（11，6）代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{11k+b=6}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=-\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，
∴直線BD的解析式為y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{9}{4}$．
（3）證明：過(guò)點(diǎn)D作DM⊥y軸于點(diǎn)M，如圖所示．
∵點(diǎn)A（0，4），點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)D（11，6），
∴DM=11，OB=3，OA=4，AM=6-4=2，
由勾股定理可得：AD²=DM²+AM²=125，AB²=OA²+OB²=25，
又∵BD²=（11-3）²+（6-0）²=100，
∴AD²=AB²+BD²，
∴△ABD是直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、勾股定理以及直角三角形的判定，解題的關(guān)鍵是：（1）分別代入x=0、y=0；（2）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（3）找出AD²=AB²+BD²．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，找出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．