Question

1．將一張長(zhǎng)與寬之比為$\sqrt{2}$的矩形紙片ABCD進(jìn)行如下操作：對(duì)折并沿折痕剪開，發(fā)現(xiàn)每一次所得到的兩個(gè)矩形紙片長(zhǎng)與寬之比都是$\sqrt{2}$（每一次的折痕如下圖中的虛線所示）．已知AB=1，則第3次操作后所得到的其中一個(gè)矩形紙片的周長(zhǎng)是$\frac{{2+\sqrt{2}}}{2}$；第2016次操作后所得到的其中一個(gè)矩形紙片的周長(zhǎng)是$\frac{{1+\sqrt{2}}}{{{2^{1007}}}}$．

Answer 1

分析 先求出矩形紙片的長(zhǎng)，再根據(jù)矩形的周長(zhǎng)公式分別求出每一次對(duì)折后的周長(zhǎng)，進(jìn)而得出變化規(guī)律求出即可．

解答 解：1×$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，
對(duì)開次數(shù)：
第一次，周長(zhǎng)為：2（1+$\frac{1}{2}$$\sqrt{2}$）=2+$\sqrt{2}$，
第二次，周長(zhǎng)為：2（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$$\sqrt{2}$）=1+$\sqrt{2}$，
第三次，周長(zhǎng)為：2（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$$\sqrt{2}$）=$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$，
第四次，周長(zhǎng)為：2（$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$$\sqrt{2}$）=$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$，
第五次，周長(zhǎng)為：2（$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$$\sqrt{2}$）=$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$，
…
∴第3次操作后所得到的其中一個(gè)矩形紙片的周長(zhǎng)是$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$，
第2016次對(duì)開后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長(zhǎng)為$\frac{{1+\sqrt{2}}}{{{2^{1007}}}}$．
故答案為：$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$；$\frac{{1+\sqrt{2}}}{{{2^{1007}}}}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了翻折變換性質(zhì)以及規(guī)律性問題應(yīng)用，根據(jù)已知得出對(duì)開后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長(zhǎng)變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．