Question

9．如圖，⊙O中，半徑CO垂直于直徑AB，D為OC的中點(diǎn)，過(guò)D作弦EF∥AB，EB與OC交于點(diǎn)P．
（1）求∠ABE的度數(shù)．
（2）若連結(jié)AB=8，求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OE，可得到△DOE為Rt△，由D為OC的中點(diǎn)，則可求出∠OED，于是得到∠AOE，利用圓周角定理即可求出∠ABE；
（2）由垂徑定理和勾股定理求出DE，即可得出EF的長(zhǎng)．

解答 解：連接OE，如圖，
∵半徑CO垂直于直徑AB，而EF∥AB，
∴∠EDO=90°，∠AOE=∠OED，
又∵D為OC的中點(diǎn)，
∴OD=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{2}$OE，
∴∠OED=30°，
∴∠AOE=30°，
∴∠ABE=$\frac{1}{2}$∠AOE=15°；
（2）∵EF∥AB，OC⊥AB，
∴OC⊥EF，
∴EF=2DE，
∵AB=8，
∴OE=OC=$\frac{1}{2}$AB=4，
∴OD=$\frac{1}{2}$OC=2，
∴DE=$\sqrt{{OE}^{2}-O{D}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴EF=4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周角定理、垂徑定理、勾股定理；熟練掌握?qǐng)A周角定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．