Question

5．已知Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點D為直線BC上的一動點（點D不與點B、C重合），以AD為邊作Rt△ADE，AD=AE，連接CE．

（1）發(fā)現(xiàn)問題：如圖①，當點D在邊BC上時，
①請寫出BD和CE之間的數(shù)量關系BD=CE，位置關系BD⊥CE；
②線段CE、CD、BC之間的關系是BC=CD+CE；
（2）嘗試探究：如圖②，當點D在邊BC的延長線上且其他條件不變時，（1）中CE、CD、BC之間存在的數(shù)量關系是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；
（3）拓展延伸：如圖③，當點D在邊CB的延長線上且其他條件不變時，若BC=4，CE=2，求線段CD的長．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)條件AB=AC，∠BAC=90°，AD=AE，∠DAE=90°，判定△ABD≌△ACE（SAS），即可得出BD和CE之間的關系；②判定△ABD≌△ACE（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可得到CE+CD=BC；
（2）根據(jù)已知條件，判定△ABD≌△ACE（SAS），得出BD=CE，再根據(jù)BD=BC+CD，即可得到CE=BC+CD；
（3）根據(jù)條件判定△ABD≌△ACE（SAS），得出BD=CE，進而得到CD=BC+BD=BC+CE，最后根據(jù)BC=4，CE=2，即可求得線段CD的長．

解答 解：（1）①如圖1，∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，∠B=∠ACE=45°，
∴∠BCE=45°+45°=90°，
即BD⊥CE；
故答案為：BD=CE，BD⊥CE；

②由①可得，△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，
∴BC=BD+CD=CE+CD，
故答案為：BC=CD+CE；

（2）不成立，存在的數(shù)量關系為CE=BC+CD．
理由：如圖2，∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，
∵BD=BC+CD，
∴CE=BC+CD；

（3）如圖3，當點D在邊CB的延長線上時，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，
∴CD=BC+BD=BC+CE，
∵BC=4，CE=2，
∴CD=4+2=6．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)的運用，等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質(zhì)．解決問題的關鍵是掌握：兩邊及其夾角分別對應相等的兩個三角形全等．解題時注意：全等三角形的對應邊相等．