Question

15．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，A（a，0）是x軸正半軸上一點(diǎn)，C是第四象限一點(diǎn)，CB⊥y軸，交y軸負(fù)半軸于B（0，b），且（a-3）²+|b+4|=0，S_{四邊形AOBC}=16．
（1）求C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）如圖2，設(shè)D為線段OB上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AD⊥AC時(shí)，∠ODA的角平分線與∠CAE的角平分線的反向延長線交于點(diǎn)P，求∠APD的度數(shù)．
（3）如圖3，當(dāng)D點(diǎn)在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，作DM⊥AD交BC于M點(diǎn)，∠BMD、∠DAO的平分線交于N點(diǎn)，則D點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，∠N的大小是否變化？若不變，求出其值，若變化，說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用非負(fù)數(shù)的和為零，各項(xiàng)分別為零，求出a，b即可；
（2）用同角的余角相等和角平分線的意義即可；
（3）利用角平分線的意義和互余兩角的關(guān)系簡單計(jì)算證明即可．

解答 解：（1）∵（a-3）²+|b+4|=0，
∴a-3=0，b+4=0，
∴a=3，b=-4，
∴A（3，0），B（0，-4），
∴OA=3，OB=4，
∵S_{四邊形AOBC}=16．
∴$\frac{1}{2}$（OA+BC）×OB=16，
∴$\frac{1}{2}$（3+BC）×4=16，
∴BC=5，
∵C是第四象限一點(diǎn)，CB⊥y軸，
∴C（5，-4）
（2）如圖，

延長CA，
∵AF是∠CAE的角平分線，
∴∠CAF=$\frac{1}{2}$∠CAE，
∵∠CAE=∠OAG，
∴∠CAF=$\frac{1}{2}$∠OAG，
∵AD⊥AC，
∴∠DAO+∠OAG=∠PAD+∠PAG=90°，
∵∠AOD=90°，
∴∠DAO+∠ADO=90°，
∴∠ADO=∠OAG，
∴∠CAF=$\frac{1}{2}$∠ADO，
∵DP是∠ODA的角平分線
∴∠ADO=2∠ADP，
∴∠CAF=∠ADP，
∵∠CAF=∠PAG，
∴∠PAG=∠ADP，
∴∠APD=180°-（∠ADP+∠PAD）=180°-（∠PAG+∠PAD）=180°-90°=90°
即：∠APD=90°
（3）不變，∠ANM=45°
理由：如圖，

∵∠AOD=90°，
∴∠ADO+∠DAO=90°，
∵DM⊥AD，
∴∠ADO+∠BDM=90°，
∴∠DAO=∠BDM，
∵NA是∠OAD的平分線，
∴∠DAN=$\frac{1}{2}$∠DAO=$\frac{1}{2}$∠BDM，
∵CB⊥y軸，
∴∠BDM+∠BMD=90°，
∴∠DAN=$\frac{1}{2}$（90°-∠BMD），
∵M(jìn)N是∠BMD的角平分線，
∴∠DMN=$\frac{1}{2}$∠BMD，
∴∠DAN+∠DMN=$\frac{1}{2}$（90°-∠BMD）+$\frac{1}{2}$∠BMD=45°
在△DAM中，∠ADM=90°，
∴∠DAM+∠DMA=90°，
在△AMN中，
∠ANM=180°-（∠NAM+∠NMA）
=180°-（∠DAN+∠DAM+∠DMN+∠DMA）
=180°-[（∠DAN+DMN）+（∠DAM+∠DMA）]
=180°-（45°+90°）
=45°，
∴D點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，∠N的大小不變，求出其值為45°

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，四邊形的面積的計(jì)算方法，角平分線的意義，解本題的關(guān)鍵是用整體思想解決問題，也是本題的難點(diǎn)．