Question

14．已知函數(shù)y₁=k₁x+b₁和y₂=k₂x+b₂圖象如圖所示，直線y₁與直線y₂交于A點（0，3）．與x軸的交點坐標為B（1，0）、C（3，0）．
（1）求函數(shù)y₁和y₂的函數(shù)關系式；
（2）求△ABC的面積；
（3）求△AOB中AB邊上的高；
（4）若點D在x軸上，且滿足△ACD是等腰三角形，直接寫出D點坐標．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法把點的坐標代入函數(shù)解析式即可得到結論；
（2）根據(jù)三角形的面積公式計算即可；
（3）設△AOB中AB邊上的高為h．根據(jù)三角形的面積公式h=$\frac{OA•OB}{AB}$，代入計算即可；
（4）根據(jù)勾股定理得到AC=3$\sqrt{2}$，當△ACD是等腰三角形時，分三種情況進行討論：①AD=AC；②AC=CD；③AD=CD．

解答 解：（1）把A（0，3），B（1，0）代入y₁=k₁x+b₁得$\left\{\begin{array}{l}{_{1}=3}\\{{k}_{1}+_{1}=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-3}\\{_{1}=3}\end{array}\right.$．
故y₁的函數(shù)關系式為：y₁=-3x+3；
把A（0，3），C（3，0）代y₂=k₂x+b₂得$\left\{\begin{array}{l}{_{2}=3}\\{3{k}_{2}+_{2}=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=-1}\\{_{2}=3}\end{array}\right.$．
故函數(shù)y₂的函數(shù)關系式y(tǒng)₂=-x+3；

（2）S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AO=$\frac{1}{2}$×2×3=3；

（3）設△AOB中AB邊上的高為h．
∵S_△AOB=$\frac{1}{2}$AB•h=$\frac{1}{2}$OA•OB，
∴h=$\frac{OA•OB}{AB}$=$\frac{3×1}{\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$；

（4）∵OA=OC=3，
∴AC=3$\sqrt{2}$．
①當AD=AC=3$\sqrt{3}$時，OD=OC=3，∴D₁（-3，0）；
②當AC=CD=3$\sqrt{2}$時，OD=CD-OC=3$\sqrt{2}$-3或OD=OC+CD=3+3$\sqrt{2}$，∴D₂（3-3$\sqrt{2}$，0）或D₄（3+3$\sqrt{2}$，0）；
③當AD=CD=3時，D在AC的垂直平分線上，∴D與O重合，∴D₃（0，0）；
綜上所述：點D在x軸上，且滿足三角形ACD是等腰三角形，D點坐標：（-3，0），（3-3$\sqrt{2}$，0），（0，0），（3+3$\sqrt{2}$，0）．

點評 本題考查了兩直線相交的問題，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，三角形的面積，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，認真審題，弄清題意是解題的關鍵．