Question

4．如圖，點(diǎn)P、Q分別是等邊△ABC邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)（端點(diǎn)除外），點(diǎn)P從頂點(diǎn)A、點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的運(yùn)動(dòng)速度相同，連接AQ、CP交于點(diǎn)M．

（1）求證：△ABQ≌△CAP；
（2）當(dāng)點(diǎn)P、Q分別在AB、BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠QMC的大小變化嗎？若變化，說明理由；若不變，請直接寫出它的度數(shù)．
（3）如圖2，若點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動(dòng)，直線AQ、CP交點(diǎn)為M，則∠QMC變化嗎？若變化，請說明理由；若不變，求出它的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，利用SAS證明△ABQ≌△CAP即可；
（2）先判定△ABQ≌△CAP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BAQ=∠ACP，從而得到∠QMC=60°；
（3）先判定△ABQ≌△CAP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BAQ=∠ACP，從而得到∠QMC=120°．

解答 解：（1）證明：如圖1，∵△ABC是等邊三角形
∴∠ABQ=∠CAP=60°，AB=CA，
又∵點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)速度相同，
∴AP=BQ，
在△ABQ與△CAP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CA}\\{∠ABQ=∠CAP}\\{AP=BQ}\end{array}\right.$，
∴△ABQ≌△CAP（SAS）；

（2）點(diǎn)P、Q在AB、BC邊上運(yùn)動(dòng)的過程中，∠QMC不變．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC是△ACM的外角，
∴∠QMC=∠ACP+∠MAC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC
∵∠BAC=60°，
∴∠QMC=60°；

（3）如圖2，點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠QMC不變．
理由：同理可得，△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC是△APM的外角，
∴∠QMC=∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°-∠PAC=180°-60°=120°，
即若點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動(dòng)，∠QMC的度數(shù)為120°．

點(diǎn)評 此題是三角形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識的綜合應(yīng)用．解決問題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法：兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．解題時(shí)注意運(yùn)用全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等的性質(zhì)．