Question

13．在平面直角坐標系中，點P（m²-n²，$\frac{1}{{{m^2}n-m{n^2}}}$）滿足m+n=4mn時，就稱點P為“曲點”．若兩個“曲點”A，B橫坐標分別為a和2a，O為坐標原點，求△OAB的面積．

Answer 1

分析 根據(jù)點P的橫縱坐標特點找出當點P為“曲點”時，橫縱坐標之積為4，過點A作AC⊥y軸于點C，過點B作BD⊥x軸于點D，延長CA、DB交于點E，利用分割圖形法結(jié)合矩形和三角形的面積即可得出結(jié)論．

解答 解：∵m+n=4mn，
∴$\frac{1}{{{m^2}n-m{n^2}}}$=$\frac{1}{mn（m-n）}$=$\frac{4}{（m+n）（m-n）}$=$\frac{4}{{m}^{2}-{n}^{2}}$，
∴（m²-n²）•$\frac{1}{{{m^2}n-m{n^2}}}$=4，
∵點P（m²-n²，$\frac{1}{{{m^2}n-m{n^2}}}$）滿足m+n=4mn時，就稱點P為“曲點”，
∴“曲點”的橫縱坐標之積為4．
過點A作AC⊥y軸于點C，過點B作BD⊥x軸于點D，延長CA、DB交于點E，如圖所示．
∵兩個“曲點”A，B橫坐標分別為a和2a，
∴A（a，$\frac{4}{a}$），B（2a，$\frac{2}{a}$），
∴E（2a，$\frac{4}{a}$），
∴S_△OAB=OD•OC-S_△OAC-S_△OBD-S_△ABE=|2a|•|$\frac{4}{a}$|-$\frac{1}{2}$×4-$\frac{1}{2}$×4-$\frac{1}{2}$|2a-a|•|$\frac{4}{a}$-$\frac{2}{a}$|=3．

點評 本題考查了坐標與圖形性質(zhì)、反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義以及三角形的面積，解題的關(guān)鍵是找出“曲點”所在圖形的函數(shù)解析式．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)“曲點”的定義找出“曲點”所在圖形的函數(shù)解析式是關(guān)鍵．