Question

13．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（m²-n²，$\frac{1}{{{m^2}n-m{n^2}}}$）滿足m+n=4mn時(shí)，就稱點(diǎn)P為“曲點(diǎn)”．若兩個(gè)“曲點(diǎn)”A，B橫坐標(biāo)分別為a和2a，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OAB的面積．

Answer 1

分析 根據(jù)點(diǎn)P的橫縱坐標(biāo)特點(diǎn)找出當(dāng)點(diǎn)P為“曲點(diǎn)”時(shí)，橫縱坐標(biāo)之積為4，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥y軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，延長(zhǎng)CA、DB交于點(diǎn)E，利用分割圖形法結(jié)合矩形和三角形的面積即可得出結(jié)論．

解答 解：∵m+n=4mn，
∴$\frac{1}{{{m^2}n-m{n^2}}}$=$\frac{1}{mn（m-n）}$=$\frac{4}{（m+n）（m-n）}$=$\frac{4}{{m}^{2}-{n}^{2}}$，
∴（m²-n²）•$\frac{1}{{{m^2}n-m{n^2}}}$=4，
∵點(diǎn)P（m²-n²，$\frac{1}{{{m^2}n-m{n^2}}}$）滿足m+n=4mn時(shí)，就稱點(diǎn)P為“曲點(diǎn)”，
∴“曲點(diǎn)”的橫縱坐標(biāo)之積為4．
過(guò)點(diǎn)A作AC⊥y軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，延長(zhǎng)CA、DB交于點(diǎn)E，如圖所示．
∵兩個(gè)“曲點(diǎn)”A，B橫坐標(biāo)分別為a和2a，
∴A（a，$\frac{4}{a}$），B（2a，$\frac{2}{a}$），
∴E（2a，$\frac{4}{a}$），
∴S_△OAB=OD•OC-S_△OAC-S_△OBD-S_△ABE=|2a|•|$\frac{4}{a}$|-$\frac{1}{2}$×4-$\frac{1}{2}$×4-$\frac{1}{2}$|2a-a|•|$\frac{4}{a}$-$\frac{2}{a}$|=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義以及三角形的面積，解題的關(guān)鍵是找出“曲點(diǎn)”所在圖形的函數(shù)解析式．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)“曲點(diǎn)”的定義找出“曲點(diǎn)”所在圖形的函數(shù)解析式是關(guān)鍵．