Question

【題目】綜合與探究

如圖1所示，直線y=x+c與x軸交于點A(-4,0)，與y軸交于點C，拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點A，C．

(1)求拋物線的解析式

(2)點E在拋物線的對稱軸上，求CE+OE的最小值；

(3)如圖2所示，M是線段OA的上一個動點，過點M垂直于x軸的直線與直線AC和拋物線分別交于點P、N．

①若以C，P，N為頂點的三角形與△APM相似，則△CPN的面積為　　；

②若點P恰好是線段MN的中點，點F是直線AC上一個動點，在坐標平面內(nèi)是否存在點D，使以點D，F(xiàn)，P，M為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

注：二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點坐標為()

Answer 1

【答案】(1)y=-x2-3x+4；(2)5；(3)①或4；②存在，D點坐標為(，)或(-1+，)或(-1-，-)或(-4，3).

【解析】

（1）根據(jù)已知條件求出C,再將點A代入即可求出解析式.

(2) 做點關于拋物線的對稱軸直線的對稱點，連，交直線于點．連，根據(jù)勾股定理即可解答.

(3)①分類討論不同相似情況，利用條件求出線段長度即可解答.

②設坐標為，得出P點坐標，代入式子求出a，根據(jù)菱形性質(zhì)即可求出D點坐標.

(1)將代入

將和代入

拋物線解析式為

(2)做點關于拋物線的對稱軸直線的對稱點，連，交直線于點．

連，此時的值最�。�

拋物線對稱軸位置線

由勾股定理

的最小值為5

(3)①當時，

，則關于拋物線對稱軸對稱

的面積為

當時

由已知為等腰直角三角形，

過點作于點，設點坐標為

，

則為，

代入

解得

的面積為4

故答案為：或4

②存在

設坐標為

則為

則點坐標為

把點坐標代入

解得(舍去)，

當時，點在垂直平分線上，則

當時，由菱形性質(zhì)點坐標為，，

當時，、關于直線對稱，點坐標為