Question

2．如圖，正方形ABCD中，E為邊AB上的中點，連接CE，將△BEC翻折，使點B落在點F處，對角線BD與CF，CE分別交于點N，M，CF的延長線與AD交于點G，如果正方形邊長為4，則線段MN的長為$\frac{20\sqrt{3}}{7}$．

Answer 1

分析 連接EG，由E為邊AB上的中點，得到AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=2，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AG=GF，設(shè)AG=GF=x，根據(jù)勾股定理得到AG=GF=1，求得DG=3，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：連接EG，
∵E為邊AB上的中點，
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=2，
∵將△BEC翻折，使點B落在點F處，
∴EF=BE=2，∠A=∠EFC=∠EFG=90°，
在Rt△AEG與Rt△EFG中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=EF}\\{EG=GE}\end{array}\right.$，
∴Rt△AEG≌Rt△EFG，
∴AG=GF，
設(shè)AG=GF=x，
∴DG=4-x，CG=4+x，
∵DG²+CD²=CG²，
∴（4-x）²+4²=（4+x）²，
∴x=1，
∴AG=GF=1，
∴DG=3，
∵BD=$\sqrt{2}$BC=4$\sqrt{2}$，
∵DG∥BC，
∴△DGM∽△BCM，
∴$\frac{DM}{BM}=\frac{DG}{BC}$=$\frac{3}{4}$，
∴DM=$\frac{12\sqrt{3}}{7}$，
同理BN=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴MN=BD-BN-DM=$\frac{20\sqrt{3}}{7}$，
故答案為：$\frac{20\sqrt{3}}{7}$．

點評 本題考查了翻折變換-折疊問題，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．