Question

12．已知關于x的方程kx²+（2k+1）x+2=0．
（1）求證：無論k取任何實數時，方程總有實數根；
（2）當拋物線y=kx²+（2k+1）x+2（k為正整數）圖象與x軸兩個交點的橫坐標均為整數，求此拋物線的解析式；
（3）已知拋物線y=kx²+（2k+1）x+2恒過定點，求出定點坐標．

Answer 1

分析 （1）分類討論：該方程是一元一次方程和一元二次方程兩種情況．當該方程為一元二次方程時，根的判別式△≥0，方程總有實數根；
（2）通過解kx²+（2k+1）x+2=0得到k=1，由此得到該拋物線解析式為y=x²+3x+2，結合圖象回答問題．
（3）根據題意得到kx²+（2k+1）x+2-y=0恒成立，由此列出關于x、y的方程組，通過解方程組求得該定點坐標．

解答 （1）證明：①當k=0時，方程為x+2=0，所以x=-2，方程有實數根，
②當k≠0時，∵△=（2k+1）²-4k×2=（2k-1）²≥0，即△≥0，
∴無論k取任何實數時，方程總有實數根；

（2）解：令y=0，則kx²+（2k+1）x+2=0，
解關于x的一元二次方程，得x₁=-2，x₂=-$\frac{1}{2}$，
∵二次函數的圖象與x軸兩個交點的橫坐標均為整數，且k為正整數，
∴k=1．
∴該拋物線解析式為y=x²+3x+2；
（3）依題意得kx²+（2k+1）x+2-y=0恒成立，即k（x²+2x）+x-y+2=0恒成立，
則$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x=0}\\{x-y+2=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=0}\end{array}\right.$．
所以該拋物線恒過定點（0，2）、（-2，0）．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點與判別式的關系及二次函數圖象上點的坐標特征，解答（1）題時要注意分類討論．