Question

8．中點、平行線、等腰直角三角形、等邊三角形都是常見的幾何圖形！
（1）如圖1，若點D為等腰直角三角形ABC斜邊BC的中點，點E、F分別在AB、AC邊上，且∠EDF=90°，連接AD、EF，當BC=5$\sqrt{2}$，F(xiàn)C=2時，求EF的長度；
（2）如圖2，若點D為等邊三角形ABC邊BC的中點，點E、F分別在AB、AC邊上，且∠EDF=90°；M為EF的中點，連接CM，當DF∥AB時，證明：3ED=2MC；
（3）如圖3，若點D為等邊三角形ABC邊BC的中點，點E、F分別在AB、AC邊上，且∠EDF=90°；當BE=6，CF=0.8時，直接寫出EF的長度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，證得△ADE≌△CDF，根據(jù)全等三角形對應邊相等，求得AE=CF=2，最后在在Rt△AEF中根據(jù)勾股定理求得EF的長；
（2）先設等邊三角形邊長為2a，在Rt△BDE中求得DE的長，再根據(jù)CM垂直平分DF，在Rt△CDN中求得CN，在Rt△MND中求得MN的長，最后根據(jù)CM與DE的長度之比求得3ED=2MC；
（3）先延長FD至G，使得FD=FG，連接EG，BG，過E作EH⊥BG于點H，根據(jù)△BDG≌△CDF得到BG=CF=0.8，進而在Rt△BEH中求得HE，在Rt△EHG中求得EG，最后根據(jù)ED垂直平分FG，即可得出EF的長度．

解答 解：（1）如圖1∵點D為等腰直角三角形ABC斜邊BC的中點
∴AD⊥BC，AD=$\frac{1}{2}$BC=CD=$\frac{5}{2}\sqrt{2}$，∠DAE=∠C=45°
∴AC=$\sqrt{2}$CD=5
又∵∠EDF=90°，F(xiàn)C=2
∴∠ADE=∠CDF，AF=5-2=3
在△ADE和△CDF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠C}\\{AD=CD}\\{∠ADE=∠CDF}\end{array}\right.$
∴△ADE≌△CDF（ASA）
∴AE=CF=2
∴在Rt△AEF中，EF=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$
（2）設等邊三角形邊長為2a，則BD=CD=a，
∵等邊三角形ABC中，DF∥AB
∴∠FDC=∠B=60°
∵∠EDF=90°
∴∠BDE=30°
∴DE⊥BE
∴BE=$\sqrt{\frac{1}{2}}$a，DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
如圖2，連接DM，則Rt△DEF中，DM=$\frac{1}{2}$EF=FM
∵∠FDC=∠FCD=60°
∴△CDF是等邊三角形
∴CD=CF=a
∴CM垂直平分DF
∴∠DCN=30°
∴Rt△CDN中，DN=$\frac{1}{2}$a，CN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，DF=a
∴在Rt△DEF中，EF=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+{1}^{2}}$a=$\frac{\sqrt{7}}{2}$a
∵M為EF的中點
∴FM=DM=$\frac{\sqrt{7}}{4}$a
∴Rt△MND中，MN=$\sqrt{（\frac{\sqrt{7}}{4}）^{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a
∴CM=$\frac{\sqrt{3}}{4}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{4}\sqrt{3}$a
∴$\frac{DE}{CM}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{4}\sqrt{3}}$=$\frac{2}{3}$a
∴3ED=2MC；
（3）如圖3，延長FD至G，使得FD=DG，連接EG，BG，則ED垂直平分FG，故EF=EG
∴由BD=CD，∠BDG=∠CDF，DF=DG可得：△BDG≌△CDF
∴∠GBD=∠C=60°，BG=CF=0.8
∴∠EBG=60°+60°=120°
∴∠EBH=60°
過E作EH⊥BG于點H，則BH=$\frac{1}{2}$BE=3
∴Rt△BEH中，HE=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$
∴Rt△EHG中，EG=$\sqrt{（3\sqrt{3}）^{2}+（3+0.8）^{2}}$=$\frac{2}{5}\sqrt{259}$
∴EF的長度為$\frac{2}{5}\sqrt{259}$

點評 本題主要考查了三角形的綜合應用，解決問題的關鍵是掌握等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定等．全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構(gòu)造三角形．