Question

4．如圖，點(diǎn)B、C分別在函數(shù)$y=\frac{6}{x}$的圖象上，AB∥x軸，AC∥y軸，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，m）（0＜m＜3），延長(zhǎng)OA反比例函數(shù)$y=\frac{6}{x}$的圖象交于點(diǎn)P

（1）當(dāng)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為3，求m的值；
（2）連接CO，當(dāng)AC=OA時(shí)，求m的值；
（3）連接BP、CP，$\frac{{{S_{△ABP}}}}{{{S_{△ACP}}}}$的值是否隨m的變化而變化？若變化，說(shuō)明理由；若不變，求出$\frac{{{S_{△ABP}}}}{{{S_{△ACP}}}}$的值．

Answer 1

分析 （1）延長(zhǎng)CA交x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，由點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再由CE∥PF即可得出比例關(guān)系$\frac{PF}{AE}=\frac{OF}{OE}$，代入數(shù)據(jù)即可求出m值；
（2）由點(diǎn)A的坐標(biāo)可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，由此可得出AC的長(zhǎng)度，利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求出OA的長(zhǎng)度，再由AC=OA即可得出關(guān)于m的方程，解方程即可得出m值；
（3）設(shè)直線(xiàn)OP的解析式為y=kx，由點(diǎn)A的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線(xiàn)OP的解析式，再根據(jù)三角形的面積公式找出S_△ABP和S_△ACP，由此即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）延長(zhǎng)CA交x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，則CE∥PF，如圖1所示．
∵點(diǎn)P在反比例函數(shù)$y=\frac{6}{x}$的圖象上，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，2），
∵CE∥PF，
∴$\frac{PF}{AE}=\frac{OF}{OE}$，即$\frac{2}{m}$=$\frac{3}{2}$，
解得：m=$\frac{4}{3}$．
（2）令$y=\frac{6}{x}$中x=2，則y=3，
∴點(diǎn)C（2，3），
∴AC=3-m，OA²=4+m²，
∵AC=OA，
∴（3-m）²=4+m²，
解得：m=$\frac{5}{6}$．
（3）設(shè)直線(xiàn)OP的解析式為y=kx，
將點(diǎn)A（2，m）代入到y(tǒng)=kx中，
得：m=2k，解得：k=$\frac{m}{2}$，
∴直線(xiàn)OP的解析式為y=$\frac{m}{2}$x．
聯(lián)立直線(xiàn)OP與反比例函數(shù)解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{m}{2}x}\\{y=\frac{6}{x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2\sqrt{3m}}{m}}\\{y=\sqrt{3m}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2\sqrt{3m}}{m}}\\{y=-\sqrt{3m}}\end{array}\right.$（舍去），
∴點(diǎn)P（$\frac{2\sqrt{3m}}{m}$，$\sqrt{3m}$）．
令y=$\frac{6}{x}$中y=m，則x=$\frac{6}{m}$，
∴點(diǎn)B（$\frac{6}{m}$，m），點(diǎn)C（2，3），
∴S_△ABP=$\frac{1}{2}$AB•（y_P-y_A）=$\frac{1}{2}$•（$\frac{6}{m}$-2）•（$\sqrt{3m}$-m），S_△ACP=$\frac{1}{2}$AC•（x_P-x_A）=$\frac{1}{2}$•（3-m）•（$\frac{2\sqrt{3m}}{m}$-2），
∴$\frac{{S}_{△ABP}}{{S}_{ACP}}$=$\frac{\frac{1}{2}•（\frac{6}{m}-2）•（\sqrt{3m}-m）}{\frac{1}{2}•（3-m）•（\frac{2\sqrt{3m}}{m}-2）}$=1．
故連接BP、CP，$\frac{{S}_{△ABP}}{{S}_{ACP}}$的值為定值1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)比例關(guān)系$\frac{PF}{AE}=\frac{OF}{OE}$找出關(guān)于m的方程；（2）根據(jù)AC=OA找出關(guān)于m的方程；（3）用含m的代數(shù)式表示出S_△ABP和S_△ACP．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，通過(guò)聯(lián)立直線(xiàn)與反比例函數(shù)解析式成方程組，解方程組找出交點(diǎn)坐標(biāo)是關(guān)鍵．