Question

9．如圖，在矩形ABCD中，$\frac{AB}{BC}=\frac{3}{5}$，AC為對(duì)角線，BM⊥AC于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)N，點(diǎn)O是BC邊上一點(diǎn)，$\frac{OC}{BC}=\frac{1}{3}$，連接DO交AC于點(diǎn)P，OF⊥OD交BN于點(diǎn)E，交AB邊于點(diǎn)F．
（1）求證：△OPC∽△FEB；
（2）求$\frac{BF}{OC}$的值．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)已知條件得出∠COP=∠BFE，∠PCO=∠FBE，再根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似判定△OPC∽△FEB；
（2）先判定△DPC∽△OEB，再結(jié)合△OPC∽△FEB，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，推導(dǎo)出$\frac{OB}{CD}$=$\frac{BF}{OC}$，最后求得$\frac{OB}{CD}$的值，即可得到$\frac{BF}{OC}$的值．本題也可以根據(jù)△OBF∽△DCO，得出$\frac{BF}{OC}$的值．

解答 解：（1）∵OF⊥OD，∠ABC=90°，
∴∠COP+∠FOB=90°，∠BFE+∠FOB=90°，
∴∠COP=∠BFE，
∵BM⊥AC，∠ABC=90°，
∴∠PCO+∠CBM=90°，∠FBE+∠CBM=90°，
∴∠PCO=∠FBE，
∴△OPC∽△FEB；

（2）解法1：∵∠COP+∠CDO=∠COP+∠BOE=90°，
∴∠CDO=∠BOE，
∵∠PCO+∠PCD=∠PCO+∠EBO=90°，
∴∠PCD=∠EBO，
∴△DPC∽△OEB，
∴$\frac{BE}{CP}$=$\frac{OB}{CD}$，
∵△OPC∽△FEB，
∴$\frac{BE}{CP}$=$\frac{BF}{OC}$，
∴$\frac{OB}{CD}$=$\frac{BF}{OC}$①．
∵$\frac{OC}{BC}=\frac{1}{3}$，
∴OB=$\frac{2}{3}$BC，
∵$\frac{AB}{BC}=\frac{3}{5}$，
∴AB=$\frac{3}{5}$BC=CD，
∴$\frac{OB}{CD}$=$\frac{\frac{2}{3}BC}{\frac{3}{5}BC}$=$\frac{10}{9}$②．
由①②可得：$\frac{BF}{OC}$的值為$\frac{10}{9}$．

解法2：∵矩形ABCD中，∠DCO=∠OBF=90°，
而∠DOF=90°，
∴∠BOF+∠COD=∠CDO+∠COD=90°，
∴∠BOF=∠CDO，
∴△BOF∽△CDO，
∴$\frac{BF}{OC}$=$\frac{OB}{DC}$，
又∵$\frac{AB}{BC}=\frac{3}{5}$，$\frac{OC}{BC}=\frac{1}{3}$，
∴AB=$\frac{3}{5}$BC，OB=$\frac{2}{3}$BC，
而CD=AB，
∴CD=$\frac{3}{5}$BC，
∴$\frac{BF}{OC}$=$\frac{OB}{DC}$=$\frac{\frac{2}{3}BC}{\frac{3}{5}BC}$=$\frac{10}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)．解決問(wèn)題的關(guān)鍵是依據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)行求解．在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)充分發(fā)揮基本圖形的作用，依據(jù)基本圖形對(duì)圖形進(jìn)行分解、組合；有時(shí)還需作輔助線構(gòu)造相似三角形．