Question

11．如圖1，二次函數(shù)y=a（x²-x-6）（a≠0）的圖象過點C（1，-$\sqrt{3}$），與x軸交于A，B兩點（點A在x軸的負半軸上），且A，C兩點關(guān)于正比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象對稱．
（1）求二次函數(shù)與正比例函數(shù)的解析式；
（2）如圖2，過點B作BD⊥x軸交正比例函數(shù)圖象于點D，連接AC，交正比例函數(shù)的圖象于點E，連接AD，CD．如果動點P從點A沿線段AD方向以每秒2個單位的速度向D運動，同時動點Q從點D沿線段DC方向以每秒1個單位的速度向點C運動，當其中一個點到達終點時，另一個點隨之停止運動，連接PQ，QE，PE，設運動時間為t秒，是否存在某一刻，使PE，QE分別平分∠APQ和∠PQC？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求出a的值，求出AC中點E坐標，再證明OA=OC，直線OE就是所求的正比例函數(shù)．
（2）如答圖1所示，關(guān)鍵是證明△APE∽△CEQ．根據(jù)∠DAC=∠DCA，∠AEP=∠CQE，證明△APE∽△CEQ，根據(jù)相似線段比例關(guān)系列出方程，解方程求出時間t的值．

解答 解：（1）把點C（1，-$\sqrt{3}$）代入拋物線解析式y(tǒng)=a（x²-x-6）得a=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{6}$-$\sqrt{3}$，
∵OA=2，OC=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2，
∴OA=OC，
∵A、C中點E的坐標為（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴直線OE垂直平分AC，即A、C關(guān)于直線OE對稱，
∴直線OE解析式為y=$\sqrt{3}$x，
∴所求是正比例函數(shù)解析式為y=$\sqrt{3}$x．
（2）假設存在．
如答圖1所示，在Rt△ACK中，由勾股定理得：
AC=$\sqrt{A{K}^{2}+C{K}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵OB=3，
∴BD=3$\sqrt{3}$，AB=OA+OB=5，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=$\sqrt{A{B}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+（3\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
∵點A、C關(guān)于y=$\sqrt{3}$x對稱，
∴CD=AD=2$\sqrt{13}$，∠DAC=∠DCA，AE=CE=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$，
連接PQ、PE，QE，則∠APE=∠QPE，∠PQE=∠CQE，
在四邊形APQC中，∠DAC+∠APQ+∠PQC+∠DCA=360°（四邊形內(nèi)角和等于360°），
即2∠DAC+2∠APE+2∠CQE=360°，
∴∠DAC+∠APE+∠CQE=180°，
又∵∠DAC+∠APE+∠AEP=180°（三角形內(nèi)角和定理），
∴∠AEP=∠CQE，
在△APE與△CEQ中，∵∠DAC=∠DCA，∠AEP=∠CQE，
∴△APE∽△CEQ，
∴$\frac{CQ}{AE}$=$\frac{CE}{AP}$，即：$\frac{2\sqrt{13}-t}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2t}$，
整理得：2t²-4$\sqrt{13}$t+3=0，
解得：t=$\frac{2\sqrt{13}-\sqrt{46}}{2}$或t=$\frac{2\sqrt{13}+\sqrt{46}}{2}$（t＜$\sqrt{13}$，所以舍去），
∴存在某一時刻，使PE平分∠APQ，同時QE平分∠PQC，此時t=$\frac{2\sqrt{13}-\sqrt{46}}{2}$．

點評 本題是二次函數(shù)壓軸題，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、對稱、解直角三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程等知識點．試題的難點在于第（2）問，圖形中線段較多關(guān)系復雜，難以從中發(fā)現(xiàn)有效的等量關(guān)系，證明△APE∽△CEQ是解題關(guān)鍵．