如圖,BC是⊙O的直徑,A是⊙O上一點(diǎn),過點(diǎn)C作⊙O的切線,交BA的延長線于點(diǎn)D,取CD的中點(diǎn)E,AE的延長線與BC的延長線交于點(diǎn)P.
(1)求證:AP是⊙O的切線;
(2)OC=CP,AB=6,求CD的長.
【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì);解直角三角形.
【分析】(1)連接AO,AC(如圖).欲證AP是⊙O的切線,只需證明OA⊥AP即可;
(2)利用(1)中切線的性質(zhì)在Rt△OAP中利用邊角關(guān)系求得∠ACO=60°.然后在Rt△BAC、Rt△ACD中利用余弦三角函數(shù)的定義知AC=2,CD=4.
【解答】(1)證明:連接AO,AC(如圖).
∵BC是⊙O的直徑,
∴∠BAC=∠CAD=90°.
∵E是CD的中點(diǎn),
∴CE=DE=AE.
∴∠ECA=∠EAC.
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA.
∵CD是⊙O的切線,
∴CD⊥OC.
∴∠ECA+∠OCA=90°.
∴∠EAC+∠OAC=90°.
∴OA⊥AP.
∵A是⊙O上一點(diǎn),
∴AP是⊙O的切線;
(2)解:由(1)知OA⊥AP.
在Rt△OAP中,∵∠OAP=90°,OC=CP=OA,即OP=2OA,
∴sinP==,
∴∠P=30°.
∴∠AOP=60°.
∵OC=OA,
∴∠ACO=60°.
在Rt△BAC中,∵∠BAC=90°,AB=6,∠ACO=60°,
∴AC==2,
又∵在Rt△ACD中,∠CAD=90°,∠ACD=90°﹣∠ACO=30°,
∴CD===4.
【點(diǎn)評】本題考查了切線的判定與性質(zhì)、解直角三角形.注意,切線的定義的運(yùn)用,解題的關(guān)鍵是熟記特殊角的銳角三角函數(shù)值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
某酒廠生產(chǎn)A、B兩種品牌的酒,每天兩種酒共生產(chǎn)600瓶,每種酒每瓶的成本和利潤如下表所示.設(shè)每天共獲利y元,每天生產(chǎn)A種品牌的酒x瓶.
A | B | |
成本(元) | 50 | 35 |
利潤(元) | 20 | 15 |
(1)請寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)如果該廠每天至少投入成本25000元,且生產(chǎn)B種品牌的酒不少于全天產(chǎn)量的55%,那么共有幾種生產(chǎn)方案?并求出每天至少獲利多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖,將邊長為1的等邊△PQR沿著邊長為1的正五邊形ABCDE外部的邊連續(xù)滾動(點(diǎn)Q、點(diǎn)R分別與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合),當(dāng)△PQR第一次回到原來的起始位置時(頂點(diǎn)位置與原來相同),點(diǎn)P所經(jīng)過的路線長為( 。
A. B. C.8π D.16π
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
2001年亞洲鐵人三項賽在徐州市風(fēng)光秀麗的云龍湖畔舉行.比賽程序是:運(yùn)動員先同時下水游泳1.5千米到第一換項點(diǎn),在第一換項點(diǎn)整理服裝后,接著騎自行車行40千米到第二換項點(diǎn),再跑步10千米到終點(diǎn).下表是2001年亞洲鐵人三項賽女子組(19歲以下)三名運(yùn)動員在比賽中的成績(游泳成績即游泳所用時間,其它類推,表內(nèi)時間單位為秒)
運(yùn)動員號碼 | 游泳成績 | 第一換項點(diǎn)所用時間 | 自行車成績 | 第二換項點(diǎn)所用時間 | 長跑成績 |
191 | 1997 | 75 | 4927 | 40 | 3220 |
194 | 1503 | 110 | 5686 | 57 | 3652 |
195 | 1354 | 74 | 5351 | 44 | 3195 |
(1)填空(精確到0.01):
第191號運(yùn)動員騎自行車的平均速度是 米/秒;
第194號運(yùn)動員騎自行車的平均速度是 米/秒;
第195號運(yùn)動員騎自行車的平均速度是 米/秒;
(2)如果運(yùn)動員騎自行車都是勻速的,那么在騎自行車的途中,191號運(yùn)動員會追上195號或194號嗎?如果會,那么追上時離第一換項點(diǎn)有多少米(精確到0.01)?如果不會,為什么?
(3)如果長跑也都是勻速的,那么在長跑途中這三名運(yùn)動員中有可能某人追上某人嗎?為什么?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖,⊙O的圓心在定角∠α(0°<α<180°)的角平分線上運(yùn)動,且⊙O與∠α的兩邊相切,圖中陰影部分的面積S關(guān)于⊙O的半徑r(r>0)變化的函數(shù)圖象大致是( )
A. B. C. D.
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