Question

9．如圖1，新定義：直線l₁、l、l₂，相交于點(diǎn)O，長(zhǎng)為m的線段AB在直線l₂上，點(diǎn)P是直線l₁上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線l上一點(diǎn)．若∠AQB=2∠APB，則我們稱點(diǎn)P是點(diǎn)Q的伴侶點(diǎn)；
（1）如圖1，直線l₂、l的夾角為30°，線段AB在點(diǎn)O右側(cè)，且OA=1，m=2，若要使得∠APB=45°且滿足點(diǎn)P是點(diǎn)Q的伴侶點(diǎn)，則OQ=$\sqrt{3}$；
（2）如圖2，若直線l₁、l₂的夾角為60°，且m=3，若要使得∠APB=30°，線段AB在直線l₂上左右移動(dòng)．
①當(dāng)OA的長(zhǎng)為多少時(shí)，符合條件的伴侶點(diǎn)P有且只有一個(gè)？請(qǐng)說明理由；
②是否存在符合條件的伴侶點(diǎn)P有三個(gè)的情況？若存在，請(qǐng)直接寫出OA長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用在一個(gè)圓中，同弧所對(duì)的圓心角是圓周角的2倍，構(gòu)造圖形，確定出點(diǎn)Q位置，判斷出直線l與圓M相切即可；
（2）①利用在一個(gè)圓中，同弧所對(duì)的圓心角是圓周角的一半，構(gòu)造圖形，確定出點(diǎn)P位置，用三角函數(shù)計(jì)算即可；
②利用在一個(gè)圓中，同弧所對(duì)的圓心角是圓周角的一半，構(gòu)造圖形，確定出點(diǎn)P位置，再用三角函數(shù)計(jì)算即可．

解答 解：（1）如圖1，

取線段AB的中點(diǎn)M，過M作MQ⊥l，
∵∠BOQ=30°，OM=OA+$\frac{1}{2}$AB=2，OQ=$\sqrt{3}$，
∴MQ=1，
以M點(diǎn)為圓心1為半徑的⊙M過點(diǎn)A，B，Q，
∴∠AQB=90°，
∵∠APB=45°，
∴∠AQB=2∠APB=90°，
∴此時(shí)的Q滿足點(diǎn)P是點(diǎn)Q的伴侶點(diǎn)，OQ=$\sqrt{3}$，
故答案為$\sqrt{3}$，
（2）①如圖2，

當(dāng)直線l₁與⊙C相切于點(diǎn)P，且A在O的右側(cè)時(shí)，
則∠APB=30°．
連接CP，過A作AD⊥l₁于D．
則AD=CP=3，
∴OA=$\frac{AD}{sin60°}$=2$\sqrt{3}$，
如圖3，

當(dāng)直線l₁與⊙C相切于點(diǎn)P，且A在O的左側(cè)時(shí)，
則∠APB=30°．
連結(jié)CP，過B作BE⊥l₁于E．
則BE=CP=3，
∴OB=$\frac{BE}{sin60°}$=2$\sqrt{3}$．
∴OA=2$\sqrt{3}$+3．
綜上所述，當(dāng)A在O的右側(cè)，OA=2$\sqrt{3}$或A在O的左側(cè)，OA=2$\sqrt{3}$+3時(shí)，符合條件的點(diǎn)P有且只有一個(gè)
②存在，
如圖4，

當(dāng)直線l₁與⊙C₁相交于點(diǎn)P₁、P₂，與⊙C₂相切于點(diǎn)P₃時(shí)連結(jié)C₂P₃，
過O作OF⊥BC₂于F，則OF=C₂P₃=3，
∴OB=$\frac{BE}{sin60°}$=2$\sqrt{3}$，
∴OA=2$\sqrt{3}$-3，
如圖5，

當(dāng)直線l₁與⊙C₁相切于點(diǎn)P₁，與⊙C₂相交于點(diǎn)P₂、P₃時(shí)連接C₁P₁，
過A作AG⊥l₁于G
則AG=C₁P₁=3，
∴OA=$\frac{AG}{sin60°}$=2$\sqrt{3}$，
綜上所述，當(dāng)A在O的右側(cè)，OA=2$\sqrt{3}$-3或A在O的左側(cè)，OA=2$\sqrt{3}$時(shí)，符合條件的點(diǎn)P有三個(gè)．

點(diǎn)評(píng) 此題是圓的綜合題，主要考查了同圓中，同弧所對(duì)的圓心角是圓周角的2倍，圓的切線的判斷方法，解本題的關(guān)鍵是做出圖新找出點(diǎn)P的位置，也是本題的難點(diǎn)．