Question

11．如圖，AB是⊙O的直徑，C、D為⊙O上兩點，CF⊥AB于點F，CE⊥AD交AD的延長線于點E，且 CE=CF．連接CA、CD、CB．
（1）求證：CE是⊙O的切線；
（2）若AD=CD=6，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）連接OC，可先證明AC平分∠BAE，結合圓的性質可證明OC∥AE，可得∠OCB=90°，可證得結論；
（2）可先證得四邊形AOCD為平行四邊形，再證明△OCB為等邊三角形，可求得CF、AB，利用梯形的面積公式可求得答案．

解答 （1）證明：如圖，連結OC．
∵CF⊥AB，CE⊥AD，且CE=CF，
∴∠CAE=∠CAB，
∵OC=OA，
∴∠CAB=∠OCA，
∴∠CAE=∠OCA，
∴OC∥AE，
∴∠AEC+∠OCE=90°，
∴∠OCE=90°，即OC⊥CE，
∵OC是⊙O的半徑，點C為半徑外端，
∴CE是⊙O的切線；
（2）解：∵AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA=∠CAB，
∴DC∥AB，
∵∠CAE=∠OCA，
∴OC∥AD，
∴四邊形AOCD是平行四邊形，
∴OC=AD=6，AB=12，
∵∠CAE=∠CAB，
∴CD=CB=6，
∴CB=OC=OB，
∴△OCB是等邊三角形，
在Rt△CFB中，CF=$\sqrt{C{B}^{2}-F{B}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴S_{四邊形ABCD}=$\frac{1}{2}$（DC+AB）•CF=$\frac{1}{2}$×（6+12）×3$\sqrt{3}$=27$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查切線的判定，掌握切線的兩種判定方法是解題的關鍵，即有切點時連接圓心和切點，然后證明垂直，沒有切點時，過圓心作垂直，證明圓心到直線的距離等于半徑．