Question

16．已知反比例函數(shù)y=$\frac{k_1}{3x}$的圖象與一次函數(shù)y=k₂x+m的圖象交于A（a，1）、B（$\frac{1}{3}$，-3）兩點(diǎn)，連結(jié)AO．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）根據(jù)圖象直接寫出k₂x+m-$\frac{k_1}{3x}$＜0的x的取值范圍；
（3）設(shè)點(diǎn)C在y軸上，且與點(diǎn)A、O構(gòu)成等腰三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)A（-1，a）、B（$\frac{1}{3}$，-3）代入反比例函數(shù)y=$\frac{k_1}{3x}$中得：-3×$\frac{1}{3}$=（-1）×a=k₁，可求k₁、a；再將點(diǎn)A（-1，a）、B（$\frac{1}{3}$，-3）代入y₂=k₂x+m中，列方程組求k₂、m即可；
（2）根據(jù)圖象得到一次函數(shù)在反比例函數(shù)下方時(shí)x的取值范圍即可求解；
（3）分三種情況：①OA=OC；②AO=AC；③CA=CO；討論可得點(diǎn)C的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵反比例函數(shù)y=$\frac{k_1}{3x}$的圖象經(jīng)過B（$\frac{1}{3}$，-3），
∴k₁=3×$\frac{1}{3}$×（-3）=-3，
∵反比例函數(shù)y=$\frac{k_1}{3x}$的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-1，a），
∴a=1．
由直線y₂=k₂x+m過點(diǎn)A，B得：$\left\{\begin{array}{l}{-{k}_{2}+m=1}\\{\frac{1}{3}{k}_{2}+m=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=-3}\\{m=-2}\end{array}\right.$．
∴反比例函數(shù)關(guān)系式為y=-$\frac{1}{x}$，一次函數(shù)關(guān)系式為y=-3x-2；
（2）k₂x+m-$\frac{k_1}{3x}$＜0的x的取值范圍為-1＜x＜0或x＞$\frac{1}{3}$；
（3）OA=$\sqrt{{1}^{2}+{（-1）}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
如圖，線段OA的垂直平分線與y軸的交點(diǎn)，有1個(gè)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（0，1）；
以點(diǎn)A為圓心、AO長(zhǎng)為半徑的圓與y軸的交點(diǎn)，有1個(gè)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（0，2）；
以點(diǎn)O為圓心、OA長(zhǎng)為半徑的圓與y軸的交點(diǎn)，有2個(gè)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（0，-$\sqrt{2}$）或（0，$\sqrt{2}$）．
故點(diǎn)C在y軸上，且與點(diǎn)A、O構(gòu)成等腰三角形，點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（0，-$\sqrt{2}$）或（0，$\sqrt{2}$）或（0，2）或（0，1）．

點(diǎn)評(píng) 此題綜合考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，注意分類思想的運(yùn)用．